5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ОБЪЕМА ВЫБОРКИ

При рассмотрении предыдущих вопросов в этой главе мы предполагали, что размер выборки задан. Формула доверительного интервала может быть использована для определения подходящей величины выборки. Но сначала мы должны принять несколько решений, например, какой уровень доверительной вероятности должен быть использован: 90%, 95 или Нам также необходимо знать, выбрав доверительную вероятность и уровень значимости, какую ширину доверительного интервала мы хотим принять: — для средней, для доли или 5 мм для стандартного отклонения, например.

Если или нам уже известны, то тогда можно рассчитать требуемую величину объема выборки. Однако обычно этого не бывает и мы должны оценить

а или р. Для этого мы либо указываем их величины, используя некоторые прежние знания, либо проводим пробную выборку и используем ее для оценки а или р. В следующих разделах будем использовать выборочные данные прошлых примеров главы, рассматривая их как предварительные выборки.

5.4.1. Объем выборки, необходимый для оценки генеральной средней

О Пример 5.7. В примере 5.1 по выборке упаковок чая был определен средний вес со стандартным отклонением в генеральной совокупности Доверительный интервал при -ной вероятности: Найдем объем выборки с вероятностью - 95% при доверительном интервале, равном для генеральной средней.

Решение

Размах доверительного интервала:

Для решения задачи, в которой доверительная вероятность равна 95%, требуется, чтобы:

Следовательно,

Отсюда

тогда

Объем выборки должен быть увеличен с 50 до 96 упаковок чая для того, чтобы сузить доверительный интервал при постоянной вероятности

О Пример 5.8. В примере 5.3 мы имели пакетов яблок со средним значением веса пакета в выборке и стандартным отклонением

Доверительный интервал с вероятностью 95% равнялся Каким должен быть объем выборки, если мы хотим определить доверительный интервал среднего веса пакета с вероятностью 99% и отклонением, равным

Решение

Размах доверительного интервала:

должен быть меньше, чем

Мы используем стандартное отклонение предварительной (или пробной) выборки, равное для оценки т.е. стандартное отклонение планируемой выборки.

К сожалению, величина которую мы хотим использовать, зависит от объема выборки, и мы не можем знать пока не рассчитаем его величину. Мы игнорируем эту проблему на данный момент, просто отметив, что наша оценка вероятно является большой, и мы используем . Сделав подстановку, имеем:

Отсюда

Следовательно,

тогда: и

Оцененный объем выборки будет по крайней мере равняться 47 с вероятностью 99% для величины доверительного интервала . Если мы хотим быть более точными, то можем теперь пересчитать с учетом числа степеней свободы, или, поскольку мы теперь знаем, что размер выборки, вероятно, больше 30, можем использовать величину z вместо величины Заменив величиной получим:

Отсюда

Следовательно,

Итак, требуемый объем выборки после корректировки равен 40 единицам и 47 единицам — без корректировки.