4.4.2. Выборочное распределение выборочной дисперсии

Выборочное распределение выборочной дисперсии может быть рассмотрено с помощью метода, описанного выше, при этом дисперсия каждой выборки должна быть зафиксирована. Однако в отличие от выборочного распределения выборочных средних выборочное распределение выборочных дисперсий не является нормальным. Если генеральная совокупность является нормальной, то выборочное распределение выборочной дисперсии имеет распределение (хи-квадрат).

КОНЕЧНАЯ ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ

Если генеральная совокупность является конечной, то математическое ожидание выборочной дисперсии имеет вид:

Следовательно,

Поэтому, если математическое ожидание выборочной дисперсии известно, то может быть определена генеральная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. В этом случае, как и при оценке генеральной средней, наиболее вероятно, что мы будем располагать дисперсией только одной выборки и использовать ее для получения оценки генеральной дисперсии. Тогда:

Это дает нам несмещенную оценку генеральной дисперсии.

Пример 4.3. Обратимся к примеру 4.1, где мы имели дело с конечной совокупностью, состоящей из чисел: 4, 8, 12, 16, 20, 24. Построим выборочное распределение, формируя выборки, объем которых равен двум наблюдениям, и рассчитаем дисперсию в качестве статистики для каждой выборки. Выборочная дисперсия:

Решение

Таблица 4.4. Выборочные дисперсии,

Выборочное распределение дисперсий этих выборок следующее: Таблица 4.5. Вычисление

Математическое ожидание выборочной дисперсии составляет:

Отсюда

Так как нам известны данные генеральной совокупности, то можем вычислить значение генеральной совокупности непосредственно. Нам известно, что генеральная средняя следовательно:

Таблица 4.6. Вычисление

Отсюда

Это значение совпадает с тем, которое было получено по выборочному распределению выборочных дисперсий.

БОЛЬШАЯ (БЕСКОНЕЧНАЯ) ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ

Если генеральная совокупность большая, то приблизительно:

Тогда выражение несмещенной оценки генеральной дисперсии имеет вид:

и несмещенная оценка генеральной дисперсии может бьггь выражена

Следовательно, может быть записана как:

Последнее выражение дает несмещенную оценку генеральной дисперсии. Вы, должно быть, заметили, что несмещенная оценка генеральной дисперсии обычно обозначается:

(обозначение не используется).

Важно не путать оценку генеральной дисперсии с выборочной дисперсией:

Вы должны понимать, какую статистику вы рассчитываете. В этой книге мы будем обозначать несмещенную оценку генеральной дисперсии как чтобы избежать путаницы.

Если мы имеем дело с выборками из нормальной совокупности, то используем таблицы х - распределения, так как выборочное распределение подчиняется - распределению с степенями свободы (см. 4.4.4).