5.3. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ ДОЛИ (ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ) р

Нас обычно интересует оценка генеральной доли (пропорции) событий с некоторым характерным свойством. Например, аудиторов интересует доля ошибок в совокупности счетов. Из главы 2 мы знаем, что доля событий, в которых возникает характерное свойство, соответствует биномиальному вероятностному распределению. Однако если мы рассматриваем только большие выборочные совокупности и случаи, в которых доля особых событий ни маленькая, ни большая, то мы можем предположить, что выборочное распределение выборочной доли приблизительно нормальное. Это означает, что можно найти доверительные интервалы для генеральной доли, основываясь на нормальном распределении. Можно использовать те же положения для этой аппроксимации, что и в разделе 2.8, где обсуждалась нормальная аппроксимация биномиального распределения; при условии, что

Обозначим генеральную долю событий и -выборочную долю. Стандартная ошибка выборочного распределения доли особых событий в выборке находится по следующей формуле:

Как было указано в разделе 2.3.3, это выражение является стандартным отклонением биномиального распределения. Поскольку генеральная доля обычно неизвестна, стандартная ошибка будет оцениваться при использовании как оценки :

Теперь мы можем найти -ный доверительный интервал для генеральной доли:

где z в величина стандартизованной нормальной переменной, выше которой лежит выборочного распределения.

Пример 5.5. В ходе аудиторской проверки фирмы была проведена случайная выборка записей по счетам. Из выборки записей 10 содержали некоторые ошибки в самой записи или процедуре. Требуется оценить с вероятностью 95% доверительный интервал для доли ошибок во всей генеральной совокупности записей. Решение

Поскольку больше 5, то может быть использована нормальная аппроксимация для биномиального распределения. Так как доля ошибок генеральной совокупности неизвестна, то стандартная ошибка выборочного распределения должна быть оценена с помощью выборочной доли р. Доверительный интервал с вероятностью 95% для генеральной доли может быть записан как:

где 1,96 — величина стандартизованной переменной которая включает 95%-ное стандартное нормальное распределение

Поэтому

Следовательно, доверительный интервал с вероятностью 95% составит:

На 95% мы уверены, что доля ошибок в записях на бухгалтерских счетах, в генеральной совокупности находится в пределах между 0,008 и 0,032.

Отклонение ±0,012 в величине доли составляет приблизительно 60% выборочной доли, равной 0,02. Это много и, следовательно, выборочная доля является ненадежной оценкой генеральной доли.

Пример 5.6. Проведена случайная выборка личных заемных счетов в банке. Из отобранных счетов 60 оказались с задолженностью по возврату ссуды сроком до трех месяцев.

Найдем доверительный интервал с вероятностью 90% для доли счетов в генеральной совокупности р, которые имеют задолженность до трех месяцев.

Если банк насчитывает 30000 личных заемных счетов, каков доверительный интервал с вероятностью 90% для числа счетов, имеющих задолженность до трех месяцев?

Решение

Доверительные границы — это значения границ доверительного интервала. Так как (больше 5), может быть использована

нормальная аппроксимация. Поскольку соответствующая генеральная доля неизвестна, то стандартная ошибка выборочного распределения должна быть оценена на основе выборочной доли Выборочная доля интересующих нас счетов равна: -

соответственно,

Доверительный интервал с вероятностью 90% для генеральной доли находится следующим образом:

где — величина стандартизованной нормальной переменной z, которая включает -ное распределение. Следовательно,

Пределы доверительного интервала (доверительные границы) составили:

Если общее числа счетов равняется 30000, то доверительный интервал .с вероятностью 90% для числа интересующих нас счетов:

Следовательно, на 90% мы уверены, что число счетов, имеющих задолженность до трех месяцев, лежит в пределах между 1440 и 2160.