ОТВЕТЫ АВТОРОВ МОДЕЛЕЙ НА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ "КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ"

(декабрь 1990, АССА)

1. Две причины, почему нормальное распределение является важным элементом статистического анализа:

Нормальное распределение очень часто присутствует в естественных и производственных процессах. Например, вес чая, который сортируется по пачкам с помощью загрузочного станка, должен иметь нормальное распределение. Большинство статистических тестов было разработано в предположении, что исходные данные подчиняются нормальному закону распределения.

Если несколько выборок определенного размера случайным образом сделаны из нормальной генеральной совокупности, выборочное распределение выборочных средних также будет нормальным, причем его среднее значение будет совпадать со средним значением генеральной совокупности. Более того, если генеральная совокупность не подчиняется нормальному закону распределения, то выборочное распределение выборочных средних приближается к нормальному (см. центральную предельную теорему). Это позволяет использовать выборочное среднее для оценки генерального среднего.

а) Показатель нагрузки на рессоры имеет нормальное распределение со средним значением 2,5 кг и стандартным отклонением 0,2 кг. Требуемое допустимое отклонение для нового вида рессор составляет от 2,7 кг до 3,1 кг.

Для рессор кг составляет z стандартных отклонений от среднего значения, равного 2,5 кг, где

Из таблиц для стандартного нормального распределения находим, что

Аналогично 3,1 кг равны 3,0 стандартным отклонениям от среднего. Из таблицы для стандартного нормального распределения Следовательно, или 15,731% рессор удовлетворяет требуемому интервалу.

Число рессор которое необходимо проверить, чтобы получить 800 рессор с требуемыми параметрами.

Пусть необходимо проверить X рессор. Тогда из следует, что число рессор, параметры которых удовлетворяют спецификации, будет равно:

т.е.

Следовательно, для получения 800 рессор, удовлетворяющих допустимому отклонению, необходимо провести проверку и замеры 5086 рессор. Ожидаемая стоимость такой проверки составит: ст.

в) Общая стоимость получения 800 рессор, удовлетворяющих допустимому отклонению:

из рессор

стоимость проверки — ст.,

издержки производства ст., общая стоимость — ст. за 800 рессор.

издержки производства особой партии рессор:

Получить рессоры особого типа из существующего запаса рессор по сравнению с их производством как особой партии дешевле на ст.

г) Процентное изменение первоначальных издержек производства особой партии рессор, необходимое для изменения решения, принятого в

Единичные издержки должны снизиться до ст. за одну рессору. По сравнению с ст. это означает снижение на ст., или на

д) Издержки производства рессор равны ст. за единицу, тогда как рессор ст. за единицу. Тем не менее средняя нагрузка рессор составляет 2,7 кг для неизвестного стандартного отклонения. Для какого интервала значений стандартного отклонения было бы дешевле выбирать рессоры, требуемые в заказе, из рессор типа или

Общая стоимость получения требуемых рессор из рессор типа должна быть меньше, чем ст. Стоимость рессор - это общая стоимость издержки производства стоимость проверки ст. ст. (доля рессор удовлетворяющих спецификации) рессор удовлетворяющих спецификации).

Следовательно, удовлетворяющих спецификации) т.е. удовлетворяющих спецификации) Таким образом, менее чем элементов распределения должны превышать значение 3,1 кг, являющееся верхним пределом допустимого отклонения в соответствии со спецификацией.

Так как 3,1 кг составляют стандартных отклонений от среднего, имеем:

Из таблиц для стандартного нормального распределения находим, что (округление до двух десятичных знаков).

Так как

Следовательно,

Если стандартное отклонение для рессор типа будет меньше, чем 0,336 кг, то выбирать рессоры, требуемые в заказе, из данного типа рессор будет дешевле. 2. а) Ниже приводится дерево решений.

б) В предположении, что все доходы рассчитываются на конец года, определить приведенный доход для каждой возможной комбинации действий и результатов, используя коэффициент дисконтирования, равный 15% годовых.

В соответствии с деревом решений необходимо сделать шесть вариантов расчетов для конечных узлов

Необходимо найти ожидаемый приведенный доход для узла А дерева решений:

Стоимость проведения исследования рынка равна ст., поэтому ожидаемая чистая приведенная стоимость исследования рынка составит ст.

г) Рекомендуемый план действий с использованием критерия максимизации ожидаемого приведенного дохода состоит в том, чтобы предпринять исследование рынка. Это позволит получить ожидаемый приведенный доход, равный ст. Если исследование рынка даст хорошие прогнозные результаты, следует внедрить выпуск нового оборудования. Если же оно даст плохие прогнозы, следует продолжить выпуск старой продукции.

д) Предположим, что вероятность того, что исследование рынка приведет к хорошим прогнозам, изменится с 0,6 до 0,5. Это приведет к изменению ожидаемого приведенного дохода:

Данное значение ниже, чем ожидаемый приведенный доход для узла равный 84,26 тыс. ф. ст.

Такое изменение значения вероятности изменило бы и наши рекомендации. Мы бы уже не рекомендовали проведение исследования рынка, однако по-прежнему придерживались бы программы выпуска нового осветительного оборудования. Этот факт говорит о чувствительности решения к небольшим изменениям значения вероятности прогноза.

3. а) Модель линейного программирования для производства компанией "Crown Chemical" химикатов ростик, сеноупур и телтрейт. Рассчитаем доход от производства каждого вида продукта:

Единичный доход Цена продажи 1 кг - Единичные переменные издержки.

В данном примере нам даны только затраты на сырье. Поскольку никакие иные переменные издержки не указаны, мы предположим, что они одинаковы для всех трех видов продукции и, следовательно, не влияют на любые решения, принятые на основе критерия максимизации дохода.

Доход от производства 1 кг:

Ростик за

Сеноупур: за

Телтрейт: ст. за 1 кг.

По условию задачи даны только две группы ограничений - на наличие сырья и максимальный спрос на телтрейт.

Переменные модели:

Пусть кг в день - объем производства и продажи химиката ростик,

кг в день - объем производства и продажи химиката сеноупур,

Т кг в день - объем производства и продажи химиката телтрейт.

В качестве примера расчета приведенного дохода используем потоки наличности, соответствующие узлу

Общий приведенный доход при 15% годовых

Используя коэффициенты дисконтирования, данные в условии задачи, получим:

Общий приведенный доход

в) Рассчитайте ожидаемый приведенный доход, если компания:

внедряет выпуск нового оборудования без проведения исследований рынка:

Необходимо найти ожидаемый приведенный доход соответствующий узлу дерева решений:

не внедряет выпуск нового оборудования:

В предположении, что в этом случае исследование рынка также не проводится, требуется найти ожидаемое приведенное значение дохода для узла Е:

предпринимает исследование рынка:

Целевая функция:

Максимизировать ежедневный доход Р, где

.

В условиях следующих ограничений:

Наличие авекс: кг в день,

Наличие бумакс: кг в день,

Наличие еидекс: кг в день,

Наличие доракс: Т 150 кг в день,

Спрос на телтрейт: кг в день,

б) Ниже показана итоговая симплекс-таблица:

Т определены выше. А, В, С и — неиспользуемые излишки ресурсов авекс, бумакс, сидекс и дорекс. — количество химиката телтрейт, находящегося в дефиците от максимального спроса на него, равного 500 кг в день. Оптимальный план (его значения указаны в правом столбце симплекс-таблицы):

300 кг в день химиката сеноупур;

150 кг в день химиката телтрейт;

200 кг в день химиката ростик.

Максимальный доход составляет ст. в день.

Использование сырья:

Из Правого столбца симплекс-таблицы следует, что кг, т.е. 70 кг ресурса сидекс не используется.

Следовательно, сырье расходуется следующим образом:

200 кг ресурса авекс используется полностью;

120 кг ресурса бумакс используется полностью;

180 кг ресурса сидекс (250 - 70 кг

150 кг ресурса Доракс используется полностью.

(Кроме того, объем производства химиката телтрейт составляет 350 кг (Е), что ниже максимального спроса, равного 500 кг).

в) Двойственная модель:

Переменные модели:

Пусть А, В, С и — стоимость 1 кг соответствующего сырья. Пусть Е — стоимость спроса на 1 кг химиката телтрейт.

Заметим, что в данном случае те обозначения, которые использовались нами в б), имеют другое значения, но оба определения тесно связаны друг с другом.

Целевая функция минимизирует общую стоимость используемого сырья и стоимость спроса на телтрейт V, где

В условиях соблюдения системы ограничений:

Доход от ростик: ст./кг

Доход от сеноупур: ст./кг

Доход от телтрейт: ст./кг

Из нижней строки итоговой симплекс-таблицы получаем:

Стоимость 1 кг авекс,

Стоимость 1 кг бумакс,

Стоимость 1 кг сидекс,

Стоимость 1 кг доракс, ст.

Стоимость спроса на телтрейт, ст.

Подстановка данных значений переменных в целевую функцию дает минимальное значение стоимости/цены ст. в день.

г) Следует ли налаживать выпуск четвертого вида продукции упелин? Каждый килограмм химиката упелин продавался бы по а его производство потребовало бы 0,5 кг бумакса и 0,5 кг доракса. Единичный доход от упелина равен:

Из решения двойственной задачи (или теневой цены) стоимость используемого при производстве Упелина сырья составит:

Производство 1 кг упелина требует использования сырья стоимостью ст., а отдача от него составляет 27, следовательно, выпуск этого продукта налаживать не следует. Производство 1 кг упелина влечет за собой снижение общего дохода на ст.

Определите ожидаемое значение ежегодного спроса:

Определите вероятность того, что в течение трех недель поставки заказа спрос превысит 100 единиц.

Существуют четыре возможных исхода, которые приводят к тому, что спрос превышает 100 единиц:

Общая вероятность того, что спрос больше 100 равен 0,189.

При проведении расчетов предполагалось, что значения спроса в течение каждой недели не зависят друг от друга.

б) Использование простой формулы EOQ, чтобы доказать, что оптимальный размер заказа равен 160.

Стоимость подачи заказа за заказ.

Ожидаемый ежегодный спрос шин в год.

Издержки хранения запаса ст. в год.

б) Построить имитационную модель движения запасов на 10-недельный период и оценить общие издержки хранения запаса в течение недели.

Начальный запас составляет 150 шин.

Размер заказа равен 160 шин.

Уровень повторного заказа равен 100 шин и включает в себя как находящиеся в запасе, так и уже заказанные шины.

Поскольку ежедневный спрос нам неизвестен, будем исследовать только уровень запаса, остающийся на конец недели. После этого будет подаваться новый заказ, который будет получен через три недели, т.е. непосредственно перед началом процесса торговли в течение следующей недели, например, заказ, поданный в конце недели 4, прибудет непосредственно перед началом недели 8. Спрос, неудовлетворенный из-за отсутствия запаса, по мере получения нового заказа не удовлетворяется. Издержки, связанные с отсутствием запаса, равны ст. за шину.

Моделирование спроса осуществляется с помощью распределения нижеследующих случайных чисел в соответствии с вероятностями, указанными в п. а);

В течение десяти недель мы подадим два заказа, что будет стоить ст. в неделю.

Средний уровень запаса на начало недели: шин.

Средний уровень запаса на конец недели: шин.

Следовательно, средний уровень запаса составляет приблизительно 71,5 шин в неделю.

Издержки хранения запаса в течение недели:

Издержки хранения запаса в течение 10 недель ст. за 10 недель.

Стоимость отсутствия запаса:

Общая стоимость функционирования системы запасов в течение 10 недель:

Следовательно, оценка общей недельной стоимости движения запасов составляет в неделю.

г) Каким образом данный метод имитационного моделирования может использоваться для определения оптимального размера заказа и уровня повторного заказа?

Необходимо разработать модель для более длительного периода, скажем, от 50 До 100 недель. Следует повторить процесс моделирования для ряда различных комбинаций размера заказа и уровня повторного заказа, используя при этом один и тот же набор случайных чисел. После этого появится возможность определить лучшие значения этих параметров и рассмотреть их более детально. Для выбранных значений параметров можно повторить метод имитационного моделирования, используя различные наборы случайных чисел Повторяемые процессы имитационного моделирования дадут также возможность изучить чувствительность стоимости по отношению к размеру заказа и т.д. Данный метод предполагает, что модель спроса остается неизменной в течение всего периода моделирования.

5. а) Объяснение сущности следующих терминов:

Коэффициенты регрессии, наклон и постоянный член:

Для оценки линейной связи между числом поданных заявок и ставкой процента по закладным использовался пакет прикладных программ. Данная взаимосвязь имеет вид: Число заявок, поданных в течение недели:

по закладным).

— это коэффициенты регрессии.

Эмпирические значения ставки процента по закладным в течение 15 недель изменяются от 10 до 15%. В рамках данного интервала модель позволяет рассчитать оценку среднего количества заявок, которое можно ожидать в течение недели. Например, если бы ставка процента по закладным составляла 12%, оценка была бы равна: количество заявок за неделю: или 72.

Наклон линии регрессии равен -6,81 и означает, что при выходе за пределы указанного выше интервала увеличение ставки на 1% приведет к уменьшению числа подаваемых заявок в среднем на 7 (6,81) единиц. Постоянный член 153,7 не имеет определенного значения сам по себе. Его можно интерпретировать как основное, или базисное значение, из которого мы вычитаем воздействие ставки процента по закладным при выходе за определенный интервал ее значений.

Коэффициент детерминации.

Мы пытаемся объяснить, почему число заявок в неделю варьирует от 50 за 5-ю неделю до 87 за 9-ю неделю. Для объяснения подобной вариации мы применяем показатель ставки процента по закладным. Коэффициент детерминации является мерой, позволяющей установить, насколько хорошо данная вариация объясняется с помощью регрессионной модели. Если коэффициент детерминации равен 1, нам удалось объяснить всю вариацию количества заявок на ссуды через взаимосвязь со ставкой процента по закладным. В этом случае линейная модель является идеальной. Если равен 0, вариация вообще не была объяснена, и модель является непригодной к использованию.

Коэффициент детерминации:

Данное значение достаточно близко к 1. Линейная модель хорошо объясняет вариацию числа заявок на ссуды. Мы объяснили 94,5% вариации и не объяснили оставшееся 5,5%.

Остаточное стандартное отклонение.

Мы уже установили, что построенная модель не является совершенной. Фактически именно это и следовало предполагать, поскольку нам известно, что кроме ставки процента по закладным спрос на них подвержен воздействию и других факторов. Данные, собранные за 15 недель, наглядно демонстрируют это положение. Так, для 3-й, 14-й и 15-й недель ставка по закладным составила 13%, однако число заявок было равно 62,65 и 61 соответственно. Если данная модель используется для прогнозирования числа поданных заявок при ставке по закладным в 13%, полученное прогнозное значение окажется единственным и составит:

Остаток — это разница между полученным по модели прогнозным и эмпирическим значениями. В целом, остаточное стандартное отклонение представляет собой оценку среднего отклонения между прогнозными и фактическими значениями. Оно равно:

В среднем предполагается, что оценки содержат ошибку в две или три заявки.

Примечание: одна из предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что в генеральной совокупности значения у, соответствующие конкретным значениям х, имеют нормальное распределение. Предполагается, что для всех х в этих нормальных распределениях существует постоянное стандартное отклонение . Именно это стандартное отклонение оценивается с помощью остаточного стандартного отклонения а (см. гл. 8).

б) График зависимости числа поданных заявок от ставки процента по закладным:

в) Рассчитаем доверительный интервал для числа заявок на ссуды в неделю при -ном уровне значимости, если ставка процента по закладным равна 14%.

Мы можем построить доверительный интервал для генерального среднего у при заданных И наоборот, можно построить доверительный интервал для отдельного значения у. На основе известных нам формул предположим, что требуется найти последний из указанных интервалов. Доверительный интервал для отдельного значения числа заявок на ссуды при -ном уровне значимости составит:

В списке формул (раздел приведена формула расчета стандартной ошибки для отдельного значения у (в отличие от среднего значения) при заданном значении х.

Здесь

Дисперсия следовательно,

Следовательно,

Прогнозное значение числа заявок на ссуды при ставке по закладным в 14% составит:

Доверительный интервал для отдельного значения числа заявок на ссуды при -ном уровне значимости равен:

Данный результат можно сравнить с числом заявок на ссуды, поданными в течение 6-й недели и равными 58, при ставке по закладным в 14%.

6. а) Найдем среднее значение и стандартное отклонение продолжительности выполнения каждой задачи. Используя указанные формулы

получим:

б) Построим сетевой граф и определим критический путь (см. с. 563)

Сетевой граф приведен ниже. Наиболее ранние и наиболее поздние сроки наступления событий указаны около соответствующих узлов. Задача является критической, если - продолжительность

Как следует из графа, критический путь, построенный с помощью средних сроков выполнения задач, выглядит следующим образом:

в) Определим среднюю продолжительность и стандартное отклонение для критического пути.

Из сетевого графа следует, что средняя продолжительность критического пути составляет 44 дня. Чтобы найти стандартное отклонение, определим сначала величину дисперсии.

Следовательно, воспользовавшись известной продолжительностью критического пути, получим:

Таким образом, стандартное отклонение для продолжительности критического пути дня.

г) Какова вероятность того, что продолжительность критического пути превысит 50 дней?

Предположим, что общая продолжительность выполнения проекта Т имеет нормальное распределение со средним значением 44 дня и стандартным отклонением 3 дня (см. Этот факт, в свою очередь, предполагает, что прюдолжительность каждой задачи, принадлежащей критическому пути, имеет -распределение, причем продолжительности выполнения каждой из задач независимы друг от друга.

50 дней составляют z стандартных отклонений от среднего значения, равного 44 дням, где:

По таблице стандартного нормального распределения находим, что Следовательно, вероятность того, что продолжительность критического пути превысит 50 дней, равна 0,02275.

7. а) Рассчитаем доверительный интервал для выработки за в целом при -ном уровне значимости в условиях новой структуры заработной платы. Предпосылки:

1. Для каждого завода можно вычислить соответствующий показатель нормы выработки, т.е. в течение рассматриваемого временного промежутка каждый завод выпускает только один продукт или по крайней мере имеет постоянный ассортимент продукции.

2. Показатели нормы выработки для различных заводов сопоставимы, т.е. все заводы производят сходные виды продукции.

3. Показатели нормы выработки по всем заводам подчиняются нормальному закону распределения и имеют одинаковые среднее значение и стандартное отклонение.

Для новой структуры заработной платы имеем:

Доверительный интервал для нормы выработки как генерального среднего при -ном уровне значимости равен:

Мы можем быть на 95% уверены, что норма выработки как генеральное среднее лежит в пределах между 40,754 и 59,246.

Почему попарный -критерий являлся бы неподходящим инструментом при проверке предположения о том, что изменение в структуре заработной платы не привело к изменениям в норме выработки в целом? Две выборки не являются попарно сопоставимыми. Они получены на основе различных заводов до и после изменения структуры заработной платы. Если бы проводилась выборка 8 заводов, по которым показатели выработки фиксировались

бы до и после изменения структуры заработной платы, попарный -критер можно было бы использовать.

Будем использовать -критерий для средних значений двух выборок.

Примечание. Данной процедуре должен предшествовать F-критерий для ральных дисперсий. Предположим, что обе выборки были получены из генеральш совокупностей, имеющих равные дисперсии. Если сравнить приведенные стандартные отклонения двух выборок, сделанное нами предположение мож] считать вполне допустимым (и фактически F-критерий это подтверждает). На» также предполагается, что лежащие в основе выборок генеральные совокупное распределены нормально.

различие в нормах выработки при старой и новой структур; заработной платы отсутствует.

различие в нормах выработки существует.

Формулировка гипотезы предполагает использование двухвершинно критерия. (Если бы утверждалось, что новая структура была введена в целя увеличения выработки, то в этом случае гипотеза формулировалась бы след; ющим образом: и можно было бы применять одновершинный критерш Из постановки проблемы не ясно, действительно ли преследовалась именно цель, однако обе выборки идут в размер с данной идеей, поскольку средняя норм выборки снизилась с 55 до 50)

Проведем проверку гипотезы используя двухсторонний -критерий, и 5%-ном уровне значимости степеней свободы.

По таблицам стандартного -распределения находим, что

Необходимо знать выборочные средние и стандартные отклонения.

Для старой структуры заработной платы:

Для новой структуры заработной платы:

Значение -критерия равно:

Следовательно,

Так как результат не является значимым на -ном уровне. Выборка подтверждает гипотезу поэтому принимается. Мы не находим доказательства в поддержку того, что изменения в выработке действительно имели место.

Почему для таких данных желательно использовать тест, не предполагающий какого-либо конкретного распределения элементов совокупности?

Одна из четырех введенных нами предпосылок заключалось в том, что генеральные совокупности, лежащие в основе выборок, распределены нормально. В соответствии с формулировкой вопроса применение любого критерия, не предполагающего конкретного распределения элементов совокупности, не требует принятия данной предпосылки.

Каждая из выборок содержит одно значение, которое является нетипичным. Так, в выборке показателей норм выработки при старой структуре заработной платы имеется значение 81, которое почти на 20% превышает все остальные. В выборке показателей норм выработки при новой структуре заработной платы есть значение 26, которое почти на 20% ниже остальных. На основе этого факта можно предположить, что исходные генеральные совокупности не подчиняются нормальному закону распределения. Указанные значения оказывают большое влияние на выборочные средние, а через стандартные отклонения отрицательно воздействуют и на чувствительность -критерия.