УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 2.1

Какая из следующих ситуаций описывается биномиальным распределением? Обоснуйте ответы (без расчетов).

1. "Sparks Garage Ltd" продает 10 машин одной марки в месяц. Какова вероятность, что владельцы двух купленных машин обратятся за гарантийным обслуживанием, если известно, что 5% покупателей машин данной марки им пользуются?

2. Оцените вероятность того, что у недавно купленной машины расход бензина будет превышать на 100 км, если известно по статистическим данным, что среднее потребление бензина у машин этого типа составляет на 100 км.

Упражнение 2.2

Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Наугад отобраны 20 накладных. Какова вероятность, что:

1. Три из них оформлены правильно.

2. Как минимум три оформлены неправильно?

Упражнение 2.3

Старинная семейная фирма решила начать продажу своих акций на бирже. Известно, что 80% брокеров посоветовали своим клиентам купить эти акции. Предположим, что совет был правильным.

Наугад отобраны 6 брокеров. Найти вероятность, что по крайней мере четверо из них предложили своим клиентам купить акции фирмы.

Упражнение 2.4

Торговец фруктами и овощами закупает бананы у заготовителей большими партиями. Но учитывая, что это товар скоропортящийся, он предполагает, что до 10% бананов будут подпорчены. Не имея возможности проверить всю закупаемую партию, он разработал следующую процедуру выборочной проверки качества.

Из поступившей партии наугад отбираются 30 гроздьев бананов, если подпорченные бананы имееются не более, чем в двух гроздях, то он покупает всю партию товара. Если подпорченные бананы имеются более чем в двух гроздях, сделка не состоится.

Какова вероятность того, что сделка не состоится, если в партии имеется 5% недобракачественных бананов?

Упражнение 2.5

Производитель транзисторов хочет добиться того, чтобы брак составлял не более 1%. Для проверки качества с поточной линии берется 10 образцов.

Назовите тип распределения вероятностей, который описывает число бракованных образцов в выборке.

Упражнение 2.6

Среднее число грузовиков, прибывающих на склад под разгрузку в течение часа равно 3.

1. Назовите тип распределения вероятностей, описывающий распределение числа грузовиков, прибывающих в течение часа.

2. Какова вероятность, что в течение часа под разгрузку придет более четырех машин?

Упражнение 2.7

Компания “Pearsons Engineering Ltd” имеет оборудование для производства болтов и других метизов. В среднем два станка в течение часа выходят из строя. Для устранения неполадок на заводе работает специальный инженер, однако ему приходится вызывать ассистента, если происходит более двух поломок в час. Как часто в среднем потребуется помощь ассистента в течение 120 ч рабочей недели?

Упражнение 2.8

В компьютере компании "Star Holdings pic" хранится вся использованная информация. Специалист, ответственный за компьютеры в этой фирме, предлагает сохранить все файлы пятилетней давности. Для изучения спроса на архивную информацию он запросил данные за последние 100 дней:

1. Вычислите среднее и число старых файлов, запрашиваемых в день, и стандартное отклонение.

2. Объясните, почему число старых файлов, запрашиваемых в день, подчиняется распределению Пуассона?

3. Предположим, число использовавшихся старых файлов подчиняется распределению Пуассона со средним значением, вычисленным в п. 1. Определите ожидаемые частоты этого распределения.

Упражнение 2.9

В среднем за месяц бухгалтерия компании "Star Holdings pic" использует 4 коробки флоппи-дискет. Предполагая, что потребность во флоппи-дискетах подчиняется распределению Пуассона, найдите число коробок дискет, которые бухгалтерия должна заказывать к началу очередного месяца такое, чтобы вероятность перерасхода была меньше, чем 4%.

Упражнение 2.10

Для транспортировки апельсины упаковываются в специальные ящики по 250 шт. в каждом. При вскрытии обнаруживается, что в среднем 0,6% апельсинов испорчены.

Какова вероятность, что во взятом для проверки ящике окажется не более двух испорченных плодов?

Упражнение 2.11

Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых а стандартное отклонение — 20 гр.

Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не более чем 2,5% пакетов содержали меньше, чем то как должна быть переналажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?

Упражнение 2.12

Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80 ч и стандартным отклонением — 30 ч. Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45 ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции?

Допустим, производитель решил заменить только 10% общего выпуска, т.е. компоненты с самым коротким сроком работы. Какой гарантийный срок работы он должен назначить, чтобы выполнить это условие?

Упражнение 2.13

Фирма "HJ Woolley & Sons Ltd" производит вязальные спицы. Наиболее популярны размеры:

"Wolley” производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую обработку. В результате чего средний диаметр заготовок становится 3,10 мм, а его стандартное отклонение — 0,10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону нормального распределения.

Определите число заготовок, пригодных для производства спиц №11, учитывая, что дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.

Упражнение 2.14

Работа машины, расфасовывающей сахар, подчиняется правилам нормального распределения, со стандартным отклонением Машина может быть настроена на любой средний вес упаковки с точностью до грамма. В данном случае требуемый вес упаковки составляет Чтобы вес товара соответствовал требованиям "Закона о мерах и весах" упаковка сахара должна удовлетворять трем следующим условиям:

1. Средний вес упаковки — не менее

2. Вес не более, чем 2,5% упаковок, может быть меньше

3. Вес не более, чем одной из 10000 упаковок, может быть меньшее

На данный момент машина налажена на средний вес упаковки —

Какова доля упаковок, содержащих менее

Какова доля упаковок, содержащих менее

Какой новый минимум среднего веса должен быть задан машине при том же стандартном отклонении, чтобы все упаковки продукции соответствовали Закону

Упражнение 2.15

Компания "EG Mersoe & Со" — небольшая фирма, занимающаяся помолом муки. Фасовочный аппарат нужно заменить и м-ру Mersoe было предложено два варианта. По первому можно обеспечить работу фасовочного аппарата в соответствии с правилом нормального распределения, при стандартном отклонении Если заплатить на ст. больше, то можно купить аппарат, который обеспечивает расфасовку со стандартным отклонением до

Расфасовывая муку в упаковки по 1 кг, аппарат должен соответствовать трем условиям:

1. Средний вес упаковки как минимум

2. Вес не более 2,5% упаковок может быть меньше 985 гр.

3. Вес не более 0,01% упаковок может быть меньше

Компания продает 4 млн. килограммовых упаковок муки в год. Цена килограмма муки примерно 15 центов.

Сколько денег компания сэкономит в год, если купит более дорогой аппарат.

Упражнение 2.16

По данным опроса общественного мнения, из 10800 зарегистрированных избирателей 45% собираются проголосовать за либеральную партию. Если все, кто имеет право голосовать, придут на избирательные участки и данные опроса объективны, то какова вероятность, что либеральная партия получит менее 5000 голосов?

Упражнение 2.17

Для получения работы оператора компьютера кандидаты должны пройти письменное тестирование, состоящее из 100 вопросов с тремя вариантами ответа на каждый из них, причем лишь один из них правильный. Чтобы успешно пройти тестирование, нужно правильно ответить на 40 и более вопросов.

Какова вероятность того, что кандидат, выбирающий правильный ответ наугад, сдаст экзамен?

Упражнение 2.18

Компания "Achilles" продает специальные фломастеры для оформления плакатов в упаковке по 5 шт. Ввиду различных причин бракованные фломастеры можно обнаружить только после продажи. Менеджер, ответственный за качество, считает, что число бракованных фломастеров примерно одинаково. Тем не менее в последнее время стало поступать все больше нареканий от покупателей. Поэтому было решено отобрать наугад 500 упаковок для проверки качества:

а) По данным выборки найдите долю бракованных фломастеров.

б) Подразумевается, что число бракованных образцов подчиняется биномиальному распределению. Учитывая это, найдите количество упаковок (из этих пятисот), в которых 0, 1, 2 бракованных фломастеров соответственно.

Упражнение 2.19

В одной из трех предложенных ситуаций используйте биномиальное, пуассоновское или нормальное распределение. Объясните, почему вы выбрали тот или иной тип распределения, обоснуйте свою точку зрения.

Ситуация 1. Средний срок работы электросхемы стандартное отклонение

а) Минимальный гарантированный срок работы — сколько электросхем не проработает этого времени, т.е. сколько электросхем производителю придется заменить?

б) Если производитель согласен заменять только 1% электросхем с наиболее коротким сроком работы, какой срок гарантии ему следует установить?

в) Какова вероятность, что средний срок работы 25 выбранных наугад электросхем превысит

Ситуация 2. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 10 персиков, и если не более двух плодов оказались подпорчены, он покупает всю партию. Найдите вероятность того, что при нормальных условиях поставки партия товара будет куплена.

Ситуация 3. Участок дороги с односторонним движением два автомобиля проходят за -секундный интервал. Найдите вероятность того, что более трех автомобилей пройдут узкий участок дороги за -секундный интервал.

Упражнение 2.20

По данным Лондонского банка, недельная потребность в купюрах 1-, 5-, 10 фунтового достоинства подчиняется закону нормального распределения:

Информация о других купюрах существенного значения не имеет. Данные по

этим трем видам купюр независимы друг от друга.

1. Какова вероятность, что спрос на наличность в какой-либо из дней превысит ст.?

2. На начало одного из дней в банке имелось 1600 ф. ст. в ст. в -фунтовых и 600 ф. ст. — 10-фунтовых банкнотах. Учитывая, что поступления наличности в течение дня не будет, ответьте на вопрос, какова вероятность, что банк сможет удовлетворить дневной спрос на наличность? (Замена купюры большего номинала на купюры меньшего не допускается; т.е. нельзя выдать две 5-фунтовых банкноты вместо 10-фунтовой.) По какому из трех видов банкнот положение банка более трудное?

3. Если допустить возможность замены купюр, объясните (не подсчитывая), каким образом изменится ситуация.

Упражнение 2.21

Компания "Classic Cars Ltd " сдает внаем автомобили. Из 15 имеющихся машин 10 берут внаем постоянные клиенты, а спрос на остальные подчиняется закону распределения Пуассона со средним 4.

1. Определите вероятность, что 10, И, 12, 13, 14 или 15 машин будут сданы внаем в течение дня. Вычислите математическое ожидание числа машин, сданных внаем в течение дня.

2. Расходы на содержание машины вне зависимости от того, используется она или нет, составляют ст. Если же машина используется, то расходы увеличиваются на ст.. Подсчитайте математическое ожидание дневной прибыли компании, если плата за аренду составляет ст. в день. -

3. Определите, целесообразно ли компании изменить количество машин с 15 до 14 или 16, учитывая, что распределение дневного спроса не изменяется. В каких пределах расходы на содержание 15 машин будут оптимальны?

Упражнение 2.22

“Electra Ltd” — маленькая электронная компания, специализирующаяся на сборке электроники из покупных компонентов. Из-за недавних изменений в номенклатуре выпускаемых товаров на складе скопилось 2000 соленоидов, основной характеристикой которых является электрическое сопротивление. Скопившиеся на складе соленоиды могут быть использованы только в приборе с сопротивлением 210-220 Ом. Так как первоначально соленоиды закупались для товаров с другими характеристиками, то имеются некоторые проблемы с их дальнейшим использованием. Известно, что сопротивление соленоидов, имеющихся на складе, колеблется от 205 до 225 Ом и распределение подчинено нормальному закону со стандартным отклонением, равным 5 Ом.

Существуют два пути использования запасов. Первый — продать все 2000 соленоидов на металлолом по ст. за штуку и закупить новые с требуемыми характеристиками. Второй — измерить сопротивление всех соленоидов и разделить их на две группы: те, у которых сопротивление не попадает в требуемые 210-220 Ом, продать на металлолом по ст. за штуку; остальные использовать для сборки приборов. Стоимость измерения и сортировки соленоидов составляет ст. за штуку, тогда как покупка нового соленоида потребует ст. за штуку.

1. Если среднее сопротивление соленоидов на складе составляет 210 Ом, сколько из них попадут в требуемый интервал 210-220 Ом? Что экономичнее — пустить все соленоиды на металлолом или измерить сопротивление каждого и продать в металлалом только ненужные?

2. Рассчитайте результаты обоих путей использования соленоидов, если среднее сопротивление равно: 205 Ом, 210, 215, 220, 225 Ом. Представьте результаты графически. Используя полученные графики, определите, каково должно быть среднее сопротивление, чтобы было экономически выгодно протестировать каждый соленоид?

3. Если вероятности средних сопротивлений соленоидов, приведенные в п. 2, равны, какой из вариантов их использования вы рекомендуете? Изменятся ли ваши рекомендации, если станет известно, что среднее сопротивление — 215 Ом в два раза более вероятно, чем остальных?