3.5.1. Расчет двухуровневого “дерева” решений

О Пример 3.6. Рассмотрим ситуацию более сложную, чем в предыдущем примере, а именно: банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 ф. ст. за каждую

проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы: первая — проводить или нет проверку, вторая — выдавать после этого заем или нет.

Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым впоследствии выдавались ссуды:

Таблица 3.24. Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды

Какое решение должен принять банк?

Решение.

Этап 1. Построим “дерево”, как показано ниже. Вероятности проставляются по данным этапа 2.

Этап 2. Используя данные табл. 3.24, вычислим вероятность каждого исхода:

Этап 3. На этом этапе слева направо проставим денежные исходы каждого из “узлов”, используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом подсчитываем все “дерево”, опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадраты “решений”, выбирается “ветвь”, ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу. Другая “ветвь” зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.

Сначала посмотрим на кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?)

Доход, ожидаемый от исхода В:

чистый ожидаемый доход:

Доход, ожидаемый от исхода С:

чистый ожидаемый доход:

Рис. 3.3. “Дерево” решений для банка с учетом аудиторской проверки

Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный ожидаемый здесь доход 1903 ф. ст. в кружке В, поэтому принимаем решение выдать заем.

Приняв решение, корректируем “дерево", проставив чистый ожидаемый доход 1905 ф. ст. над квадратом 2. “Ветвь” — не давать заем — зачеркивается, как это показано на рис. 3.4.

То же самое с кружками исходов D и Е — результатами решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода

чистый ожидаемый доход:

Аналогично для исхода Е:

чистый ожидаемый доход:

Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидаемый доход был бы равен 1350 ф. ст. и можно было бы принять решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход и принимаем решение выдать заем.

Наконец приступаем к расчету кружков исходов F и G, которые являются результатами решения 4.

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 ф. ст., и поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуду. Сумма 1560 ф. ст. надписывается над квадратом 4, а альтернативная “ветвь” перечеркивается.

Теперь вернемся к “узлам” А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для кружка А:

Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход:

Теперь можно проставить значения первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом “узле" максимальное математическое ожидание — 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную “ветвь”.

На рис. 3.4 стрелками показана последовательность решений, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача заема рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 — выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 — не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9% годовых. "Дерево” окончательных решений для примера 3.6. приведено на рис. 3.4.

О Пример 3.7. Фирма “Tranda pic”, занимающаяся исследованием рынка, рассчитывает расширить свою деятельность, снабдив персональными компьютерами персонал, занимающийся сбором данных. Проблема состоит в том, покупать ли компьютеры или арендовывать. Предсказать рост масштабов деятельности фирмы в ближайшие четыре года нельзя, но возможно разделить его на значительный,

Рис. 3.4. Окончательное “дерево” решений для примера 3.6

средний и незначительный. Вероятность значительного роста масштаба деятельности в первый год после установки компьютеров составляет 0,6; среднего и незначительного — 0,3 и 0,1 соответственно. В последующие три года рост может оцениваться как значительный и незначительный. Подсчитано, что если рост значительный в первый год, то вероятность того, что он останется таким же в последующие три года, равна 0,75. Средний рост первого года изменится на незначительный в последующие годы с вероятностью 0,5. А незначительный таким же и останется с вероятностью 0,9. Чистые наличные доходы, вызванные этими изменениями, приведены в табл. 3.25.

Таблица 3.25. Доходы наличности

Стоимость компьютеров — 35000 ф. ст. Условия аренды: первоначальный взнос — 15000 ф. ст. плюс 25% чистой наличной выручки на конец года. Компания рассчитывает получать 12% годовой прибыли на вложенный капитал.

Рис. 3.5. Дерево решений для покупки или аренды

Для того, чтобы решить, должна ли фирма покупать или арендовывать компьютеры, воспользуемся “деревом”. Критерием принятия решения является максимизация ожидаемой чистой выручки с учетом 12%-ного приращения капитала в год.

Решение.

Этап 1. Составляем “дерево” для покупки-аренды компьютеров.

Отметим, что обе половины “дерева" — покупка и аренда — не зависят от начальных затрат, а зависят только от сумм предполагаемого дохода, которые рассчитываются на конечном этапе.

Этап 2. Подсчитаем суммы, получаемые за 1-4 годы работы. Значения доходов, проставленные в крайней правой части “дерева" — это доходы за 2-4 годы, соответствующие сегодняшнему уровню доходов (табл. 3.25) с учетом годовой 12%-ной надбавки, которую предусматривает фирма.

Если в конце года компания получает А ф. ст. и рассчитывает на 12% годового прироста, то тогда сегодняшнее (текущее) значение А ф. ст. для 2-4 года работы будет равно:

Поэтому в “узле” I, где А (доход за год) должно быть равно 20000 ф. ст., текущее значение дохода за 2-4 годы с учетом 12% годовых:

Аналогичная цифра для

Чередуясь, эти два значения повторяются от К до Т.

Этап 3. Используя текущие значения доходов можно вычислить математическое ожидание исходов от С до Н. В исходе С несмещенная величина ожидаемого текущего дохода за годы 2-4 равна:

На первом году работы этой величине соответствует доход в ст., текущая величина этой суммы равна:

Следовательно, ожидаемая текущая стоимость за 1-4 годы:

Исход ожидаемая текущая стоимость доходов за 1-4 годы при 12% годовых, составит:

Исход , ожидаемая текущая стоимость доходов за 1-4 годы:

В результате симметрии ожидаемые текущие величины доходов в кружках и Н составляют ст., ст. и ст. соответственно. На этом расчеты по правой стороне заканчиваются, и можно приступить к вычислению ожидаемых текущих доходов в . Для обоих значения доходов одинаковые.

Чистый ожидаемый текущий доход по А (если компьютеры будут куплены) составит:

Для расчета низкой ожидаемой текущей стоимости по “узлу” В вычислим стоимость аренды — 15000 ф. ст., которые выплачиваются сразу, плюс 25% чистого годового дохода наличности. Ожидаемая текущая величина чистого дохода наличности составляет 50809 ф. ст. Следовательно, ожидаемая текущая величина стоимости аренды равна:

Рис. 3.6. Окончательное дерево решений для примера 3.7

Отсюда чистая ожидаемая текущая стоимость по исходу В (если компьютеры будут взяты в аренду) составит:

Теперь вернемся к рассмотрению квадрата 1. Максимизируя ожидаемую текущую величину чистых доходов, мы сравним значение исхода кружка A (15809 ф. ст. при покупке) со значением в кружке В (23107 ф. ст. при аренде). Из чего следует, что компания должна арендовать компьютеры. Окончательная схема для пример» 3.7 приведена на рис. 3.6:

Обратим внимание на то, что в расчетах по покупке компьютеров не была учтена их остаточная стоимость через четыре года, а это может коренным образом повлиять на вектор решения.