2.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.6.1. Непрерывная случайная величина и плотность ее вероятности

В предыдущих параграфах этой главы мы рассмотрели вероятностное распределение дискретной случайной величины. Остальные разделы посвящены равномерному и нормальному распределению непрерывных случайных величин. Если в ходе эксперимента все значения случайной величины оказываются на определенном замкнутом участке и могут принимать в нем любые значения, то значит мы имеем дело с непрерывной случайной величиной. Непрерывная случайная величина имеет специфику в распределении вероятностей.

Например, если измерить объемы производимых заводом пластмассовых бутылок для сока, которые должны быть равны 200 мл, то полученные цифры окажутся на каком-то определенном интервале, допустим, от 190 до 210 мл. В данном случае непрерывная случайная величина будет иметь неограниченное множество значений в этих пределах. Получим функцию распределения вероятностей для непрерывной случайной величины. Предположим, мы имеем непрерывную случайную величину X, которая принимает значение х в интервале для которого функция вероятности является непрерывной, то функция распределения непрерывной случайной величины равна

График функции распределения непрерывной случайной величины представляет собой кривую, в отличие от линейной диаграммы для распределения дискретной случайной величины.

Пример 2.11.

а) Функция распределения:

График распределения вероятностей для заданной функции будет иметь вид (рис. 2.5.):

Рис. 2.5. Функция плотности вероятности

б) Предположим, функция плотности вероятности:

Рис. 2.6. Функция плотности вероятности

Любому значению дискретной случайной величины соответствует определенная вероятность. Очевидно, что это невозможно для непрерывной переменной. Здесь вероятность соответствует некой области значений непрерывной случайной величины. Например, какова вероятность того, что объем пластмассовой бутылки находится в пределах от 195 до 197 мм?

Графически вероятность изображается как площадь под кривой, ограниченная некими пределами значений переменной. Общая площадь прямоугольников на

гистограмме равна общей частоте. Общая площадь под кривой распределения соответствует общей вероятности 1.

В примере 2.11 а) вероятность, что X примет значение от 2 до 2,5 представлена закрашенной площадью графика функции распределения.

Рис. 2.7. Вероятность, что х примет шшчення от 2 до 2,5

Функция вероятности равна плотности вероятности:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из какого-то промежутка, равна площади под функцией плотности вероятности на этом промежутке (рис. 2.7). Однако непрерывная случайная величина никогда не принимает какое-то значение, допустим 5 мин., оно может быть меньше или больше пяти минут, или от 21,0 до 21,5 м, или более чем 3,6 кг.