7.4.2. Контрольные карты количественных признаков при неизвестных «мю» и «сигма»

В разделе 7.4.1 перед тем, как начать построение контрольных карт, мы предполагали, что значения известны. Однако это не всегда так, и в этих случаях приходится осуществлять оценку значений и а. Один из методов получения оценок основан на использовании данных предыдущих выборок.

Оценка вычисляется как среднее всех индивидуальных значений. Это равносильно нахождению среднего значения выборочных средних. Для каждой выборки рассчитывается х, а затем — среднее из всех полученных значений х.

Это и есть

Если значение а неизвестно, оценку разброса значений в генеральной совокупности получают с использованием среднего значения размахов выборки Для того, чтобы оценить а, мы должны знать характер взаимосвязи между .

В табл. 7.1 приводится коэффициент, применяемый при расчете центральной линии контрольной карты размахов. Эта центральная линия и есть Следовательно, искомая взаимосвязь достаточно проста:

где — размер выборки, находится из табл. 7.1. Таким образом, вместо используемого во всех предшествующих расчетах а мы воспользуемся

Применение этого метода проиллюстрируем на примере расчета границ регулирования. Отметим, что эта же процедура может использоваться и при нахождении предупреждающих границ. Границы регулирования контрольной карты среднего рассчитывались как данном случае эта формула примет следующий вид:

Верхняя граница регулирования контрольной карты размахов рассчитывалась как . В данном случае имеем:

где приведены в табл. 7.1.

Отметим, что при изложении вопроса о вероятности статистического превышения границ регулирования в различных учебниках, к сожалению, используются различные обозначения и исходные предпосылки. Это приводит к появлению таблиц и формул, которые дают несколько отличные друг от друга значения границ. Американские учебники отличаются в этом отношении от английских, и все это сопровождается изменениями во времени.

Несмотря то, что описанные выше методы определения положения границ регулирования и предупреждающих границ сами по себе являются сложными, они тем не менее требуют проведения некоторых дополнительных расчетов. Если контрольные карты будет использовать работник, не имеющий достаточного уровня статистических знаний, то очевидное преимущество будет иметь подход, позволяющий предельно упростить все вычисления.

Вернемся вновь к границам регулирования контрольной карты среднего. Эти границы рассчитываются по следующей формуле:

В данном случае является константой. Обозначим ее через А, тогда положение границ регулирования будет определяться как

Существует специальная таблица значений А для различных значений Верхняя граница регулирования контрольной карты размахов определяется как:

В данном случае вновь представляет собой константу. Назовем ее, например

С, тогда уровень верхней границы регулирования будет равен Значения С определяются в зависимости от значений по специальным таблицам.

Наконец, нижняя граница регулирования контрольной карты размахов определяется Значения В находятся из соответствующих таблиц в зависимости от значений А и С (см. статистические таблицы).

Пример 7.5. В примере 7.3 приводятся данные о 125-граммовых упаковках с чаем. Через равные интервалы в 30 мин проводится случайная выборка, в примере приводятся результаты измерений по шести выборкам. Используем эти данные для того, чтобы проиллюстрировать получение оценок .

Выборочное среднее и размах выборки рассчитаны в разделе 7.4.1 и будут использоваться при нахождении

Таблица 7.2

Среднее значение

Оценка границы регулирования для контрольной карты среднего имеет следующий вид:

Находим из таблиц, что при следовательно, граница регулирования равна Полученные границы регулирования, равные можно сравнить с теми значениями, которые были получены в разделе 7.4.1 с использованием и о, и равны соответственно.

Контрольная карта размахов

Центральная линия

Верхняя граница регулирования Сравните со значением полученным в разделе 7.4.1.

Нижняя граница регулирования

Значения С и В определяются из соответствующих таблиц при