6.4. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗЫ НА ОСНОВЕ ВЫБОРОЧНОЙ СРЕДНЕЙ — ГЕНЕРАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ НЕИЗВЕСТНА

В главах 4 и 5 мы встречались с положением, когда дисперсия генеральной совокупности о неизвестна, в этом случае мы можем произвести ее оценку, используя выборочное стандартное отклонение Тогда соответствующее стандартизованное распределение становится t-распределением с степенями свободы.

Пример 6.5. Компания "Britelite pic" производит электрические лампочки. Для определенного типа лампочек установлен нормативный срок использования Для испытания новой партии была взята выборка лампочек. Среднее время пользования лампочкой в выборке равна со стандартным отклонением Свидетельствуют ли эти данные о том, что ожидаемый срок использования изменился по сравнению с

Решение

Нулевой гипотезой является предположение о том, что выборка была взята из генеральной совокупности со средней

Выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной генеральной совокупности со средней то есть

Выборка не была взята из нормально распределенной совокупности со средней то есть Из следует, что мы будем использовать испытание с двумя границами, из — что выборочное распределение выборочных средних также является нормальным распределением со средней и

стандартной ошибкой Поскольку а неизвестна, то для испытания гипотезы используем стандартное -распределение с числом степеней свободы, равным (10—1) 9. Примем решение при -ном уровне значимости. Используя таблицы -распределения (Приложение 2), находим, что равняется Граничные величины стандартного распределения показаны на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Граничные значения при -ном уровне значимости

Теперь проверочной статистикой является t:

В разделе 4.4.3 было показано, что:

Поэтому:

Следовательно,

Проверочная статистика —3,0, меньше граничной величины —2,26. Это означает, что:

Результат значим на -ном уровне. Поскольку результат является значимым, мы заключаем, что имеется резонное основание считать, что выборка не согласуется с нулевой гипотезой. Мы отклоняем эту гипотезу. Вероятность появления выборочной средней равной или менее, из-за случайностей отбора при выборке величиной 10 единиц, взятой из нормальной генеральной совокупности со средней меньше чем 5%. Мы верим, что выборка не была взята из такой генеральной совокупности. Средний срок использования лампочек изменился.

Пример 6.6. Компания упаковывает сахарный песок в пакеггики, на которых указан вес Компания утверждает, что среднее содержимое пакеггиков не меньше . Служащий Министерства торговых стандартов посетил фабрику компании с целью проверки этого утверждения. Он отобрал в случайном порядке 8 пакетов и взвесил содержимое. Результаты оказались следующими:

Таблица 6.1. Вес случайно выбранных 8 пакетов

Какое заключение может сделать представитель Министерства торговых стандартов на основе этой выборки? (Предполагается, что вес пакетиков с сахаром нормально распределен).

Выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной генеральной совокупности со средней

Выборка взята из распределения со средней меньшей, чем то есть

Из следует, что выборочное распределение выборочных средних является нормальным распределением со средней и стандартной ошибкой Из следует, что мы будем использовать испытание с одной границей. Рассчитаем выборочную среднюю х и стандартное отклонение

Поскольку а неизвестна, для испытания гипотезы используем стандартное -распределение с числом степеней свободы Примем решение относительно нулевой гипотезы на 1%-ном уровне значимости. Используя таблицы -распределения из Приложения 2, находим, что Граничные значения показаны на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Критическое значение на -ном уровне значимости

Проверочная статистика рассчитывается также, как и раньше:

Следовательно:

Проверочная статистика, —1,40, больше граничной (критической) величины — 3,00. Это означает, что

Результат не существенен на -ном уровне. Поскольку результат не существенен, мы принимаем нулевую гипотезу на атом уровне Вероятность появления величины выборочной средней или меньше из-за колебаний случайной выборки объемом 8 единиц, взятой из нормальной генеральной совокупности со средней больше чем 1%. И, таким образом, мы утверждаем, что выборка была взята из такой генеральной совокупности. Утверждение компании, что сахар расфасован в пакетики по верно.