6.8. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗЫ ПО ВЫБОРОЧНЫМ СРЕДНИМ — ГЕНЕРАЛЬНЫЕ ДИСПЕРСИИ НЕИЗВЕСТНЫ

В этом случае стандартная ошибка зависит от того, можем ли мы предположить, что две генеральных дисперсии равны между собой?

Стандартная ошибка разницы между двумя выборочными средними находится по формуле:

Если и неизвестны, то они могут быть оценены посредством выборочных дисперсий. Возможны два случая:

1. Если генеральные дисперсии равны между собой, то

Тогда

Лучшая оценка дисперсии достигается сложением двух выборочных дисперсий по сравнению с использованием одной или другой по отдельности. Лучшая оценка генерального стандартного отклонения вычисляется по формуле:

Поэтому лучшей оценкой требуемой стандартной ошибки является:

где

С другой стороны, можно написать:

где.

Проверочная статистика для испытания гипотез на двух выборочных средних не относится к нормальному распределению, но следует стандартному распределению с степенями свободы. Это может быть записано следующим образом:

Поэтому мы используем тот же метод, что и в разделе 6.4.

2. Если генеральные дисперсии не равны друг другу, то каждая генеральная дисперсия должна быть оценена соответствующей выборочной дисперсией:

Следовательно:

где.

Или

где

Проверочная статистика для испытания гипотезы по двум выборочным средним находится по формуле:

Эта статистика не подчиняется ни нормальному распределению, ни распределению. Можно использовать в качестве приближения -распределения, но зависимость от числа степеней свободы более сложная. Если размеры выборки большие, распределение этой новой статистики приблизительно нормальное, как описано в центральной предельной теореме. Мы будем обсуждать задачи этого вида только для случая больших выборок.

Для выбора подходящей проверочной статистики в случае, когда генеральные дисперсии не известны, мы должны знать, какое предположение принимается. Прежде всего нужно решить, можно ли считать неизвестные генеральные дисперсии равными или нет. Для принятия решения используется F-критерий.

Пример 6.12. Для исследования качества определенного вида производимого полимера были сделаны выборки по 10 единиц из каждой последовательной серии

и определен процент химического вещества х в каждой выборке. Для первой серии средний процент составил со стандартным отклонением Для второй серии среднее содержание химического вещества х составило со стандартным отклонением

Имеется ли основание предполагать, что две серии содержат разный процент химического вещества

Решение

Нулевая гипотеза предполагает, что выборочные средние согласуются с двумя выборками, взятыми из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой генеральной средней.

Альтернативная гипотеза состоит в том, что две серии взяты не из одной и той же генеральной совокупности. Следовательно, должна быть проведена двусторонняя проверка.

Поскольку генеральные дисперсии неизвестны, мы должны использовать F-критерий для предположения, что две генеральных дисперсии равны друг другу. Для испытания с помощью F-критерия формулируем гипотезы:

Будем испытывать нулевую гипотезу на -ном уровне значимости, используя испытание с двумя границами. Это означает, что мы используем строки 0,025 F-таблицы в Приложении 2 с 9 и 9 степенями свободы.

Поскольку является большей, то F-статистика равна:

Поскольку

различия между дисперсиями не существенны на -ном уровне. Наблюдаемые значения согласуются с нулевой гипотезой. Мы можем предположить, что две генеральных дисперсии равны друг другу, и использовать -критерий для проверки гипотезы по выборочным средним.

Теперь мы продолжим испытание гипотез на двух выборочных средних на -ном уровне значимости, используя -критерий с двумя границами с числом степеней свободы:

Из таблицы в Приложении 2 находим, что

Поскольку мы предположили, что

Проверочной статистикой является:

Поскольку

результат существенен на 5%-ном уровне. Очевидно, что наблюдения не согласуются с нулевой гипотезой. Мы отклоняем и принимаем Н, как верную: две серии имеют разное содержание химического вещества X.

О Пример 6.13. Компания производящая батарейки, утверждает, что в среднем период использования их батареек более длителен, чем батареек их конкурента — компании Ассоциация потребителей взяла случайную выборку батареек, производства компании и испытала их на разрушение. Средний срок службы оказался равным со стандартным отклонением 8,7 часа Такая же проверка была сделана по продукции компании "Sparky" ( батареек). Средний срок службы оказался равен 193,8 часа со стандартным отклонением 5,8 часа Подтверждают ли эти результаты заявление

Нулевая гипотеза состоит в том, что две выборки взяты из нормальной совокупности с общей средней.

Альтернативная гипотеза состоит в том, что батарейки служат дольше, поэтому будем проводить одностороннюю проверку. Поскольку генеральные дисперсии неизвестны, нам придется использовать F-критерий, чтобы определить можно ли допустить что две генеральные дисперсии равны, прежде чем проводить проверку гипотезы по средним.

Произведем проверку нулевой гипотезы на -ном уровне значимости, используя двустороннюю проверку:

Поскольку является большей, то F-статистика равна:

Из F-таблиц (Приложение 2) для уровня значимости 0,025 с одной границей при 34 степенях свободы по столбцу и 29 степенях свободы по строке таблицы лежит между

Наша F-статистика больше этих двух значений, поэтому результат существенен на -ном уровне и не согласуется с нулевой гипотезой. Мы не можем предположить, что генеральные дисперсии равны друг другу, следовательно и мы должны предположить:

Испытание гипотезы с помощью -статистики не подходит. Поскольку размеры выборки большие мы можем использовать нормальное распределение как аппроксимацию к правильной статистике для двух выборочных средних. Будем испытывать -ком уровне, используя нормальную проверку с одной границей. Из таблицы (Приложение 2) находим, что Поскольку мы предположили

то

Проверочная статистика равна:

Поскольку

Результат существенен на 5%-ном уровне. Очевидно, что факты не согласуются с нулевой гипотезой. Мы отклоняем Но на этом уровне. Следовательно, предполагаем, что альтернативная гипотеза верна. Средний срок службы батареек "JBO” больше, чем батареек “Sparky”. Таким образом, наше заключение подтвердило правдивость рекламы компании

Пример 6.14. Компания "Electra pic" производит электрические компоненты. Выполнение работ по их сборке с максимальной производительностью требует обучения новых работников в течение месяца. Поскольку обучающая программа стоит немалых средств, руководство компании стремится сократить время, отведенное на обучение. Руководитель программы изобрел новый метод обучения. Руководство фирмы заинтересовано в проведении специального исследования для того, чтобы определить, сокращает ли новый метод период обучения.

Две группы по 10 новых работников обучались три недели. Одна группа использовала новый метод, другая — стандартную процедуру. По окончании трехнедельного периода, каждый новый работник проводил сборку элемента и записывалось время сборки.

Таблица 6.2. Время, затраченное на сборку единицы продукции, мин.

Доказывают ли эти данные эффективность нового метода обучения?

Решение

Нулевая гипотеза состоит в предположении, что две выборки были взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой средней:

Предположим, что традиционное обучение требует больше времени, поэтому испытание будет с одной границей.

Для сравнения выборочных средних, мы сначала должны испытать дисперсии с помощью F-крктерия:

Мы будем испытывать нулевую гипотезу на -ном уровне, используя испытание с двумя границами.

Вычислим по данным табл. 6.2. средние значения и дисперсии:

Поэтому

Из строки 0,025 таблицы распределения с одной границей в Приложении 2 находим:

Результат не существенен на уровне 5%. Данные согласуются с нулевой гипотезой. Поэтому мы предполагаем, что две генеральные дисперсии равны друг другу. Теперь мы продолжим испытание гипотезы на двух выборочных средних.

Мы выбираем для испытания 1%-ный уровень значимости, используя -критерий с одной границей с степенями свободы.

Из таблицы в Приложении 2 находим, что:

Поскольку мы предположили, что

Проверочной статистикой является:

Поскольку

т.е. различие в среднем времени сборки не существенно на 1%-ном уровне.

Факты согласуются с нулевой гипотезой. Мы принимаем Но, следовательно, нет оснований предполагать, что новый метод сократит в среднем время обучения.