12.4.3. Воздействие на оптимальное решение изменений в коэффициентах целевой функции

Условия, для которых составлялась задача линейного программирования, неизбежно изменяются. Чаще всего эти изменения предполагают повторное выполнение формализации задачи, но должна существовать возможность идентифицировать воздействие незначительных изменений на решение исходной задачи. 6 этом разделе мы рассмотрим изменения коэффициентов целевой функции. Если цель состоит в максимизации еженедельного дохода, то изменение стоимости сырья приведет к изменению значений коэффициентов целевой функции.

В задаче о портфеле ценных бумаг, когда целью является максимальная ежегодная отдача инвестиций, на коэффициенты целевой функции может воздействовать изменение процентной ставки, происшедшее в одном из объектов вложения инвестиций.

Рассмотрим ситуацию, Когда один из коэффициентов целевой функции изменяется во времени. Предположим, что

целевая функция, максимизирующая прибыль в задаче линейного программирования, где 4 — прибыль от выпуска единицы продукции Y (ф. ст.), а — прибыль от выпуска единицы продукции X (ф. ст.). Прибыль от продукции X может меняться. Предположим, что существует графическое изображение данной задачи, в котором значения переменных х и у отложены на соответствующих осях координат. Полезно переписать целевую функцию таким образом, чтобы у являлось зависимой переменной:

Линия уровня целевой функции пересекает ось ординат в точке а тангенс угла ее наклона равен - Точка пересечения линии уровня с осью ординат не зависит от значения параметра а, однако угол ее наклона увеличивается с ростом а, и наоборот. Иными словами, с изменением параметра а линия уровня поворачивается. Незначительные перемещения ее в любом направлении обычно не приводят к изменению оптимальной крайней точки. Однако в результате более значительных изменений угла наклона линии уровня может появиться новая оптимальная крайняя точка. Полезно определить промежуток значений параметра а, для которых некоторая крайняя точка допустимого множества является оптимальной. Аналогичным

образом можно поступать, если фиксированным является коэффициент целевой функции при переменной х, а коэффициент при у подвержен изменениям.

Пример 12.7. Обратимся к примерам 12.2 и 12.5, в которых рассматривается производство деталей к автомобилям. Допустимое множество выглядит следующим образом:

Рис. 12.17. Задача линейного программирования для производства деталей типа X и Y в неделю

Линия уровня еженедельного дохода имеет вид:

На рис. 12.17 она проходит через оптимальную крайнюю точку А. Теперь вспомним, что доход от выпуска единицы деталей типа X может меняться. Каков промежуток значений единичного дохода, для которых А остается оптимальной крайней точкой? Единичный доход от выпуска деталей типа Y остается неизменным.

Решение

Перепишем уравнение дохода за неделю в следующем виде:

где а — единичный доход от выпуска деталей типа X. Преобразовав это уравнение, получим:

Тангенс угла наклона линии дохода за неделю равен . В исходном положении при ст. за единицу тангенс угла наклона равен

Если а меньше ст. за единицу, то наклон линии еженедельного дохода становится более пологим. В точке А линия уровня будет отклоняться в сторону лимитирующего ограничения на фонд рабочего времени. Это ведет к уменьшению оптимального значения функции Р, дохода за неделю. Обратите внимание на рис 12.18. Если сильно уменьшать значение параметра а, то линия уровня еженедельного дохода совпадет с ограничением на фонд рабочего времени. Это показано на рис. 12.19.

Рис. 12.18. Уменьшение дохода от выпуска деталей типа X

Если и далее уменьшать значение параметра а, оптимум переместится из точки А в точку (см. рис. 12.20). Следовательно, граничным является положение линии уровня дохода, при котором она совпадает с линией лимитирующего ограничения на фонд рабочего времени. Этому положению соответствует наименьшее значение а, для которого А является оптимальной крайней точкой.

Угол наклона линии ограничения на фонд рабочего времени можно найти, преобразовав данное ограничение к виду:

Тангенс угла наклона лимитирующего ограничения равен - (1/2). Нижний предел значений находится из условия - таким образом, ст. за единицу. Следовательно, единичный доход от выпуска деталей типа X может уменьшаться до ст. до того, как оптимум переместится из точки А в точку

(кликните для просмотра скана)

Причем оптимальный доход будет сокращаться, но оптимальный ассортиментный набор не изменится до тех пор, пока значение параметра а не опустится ниже 20 ф. ст. Аналогичным образом можно найти верхний предел значений а. С увеличением значения а линия еженедельного дохода становится все менее пологой и в конечном итоге окажется параллельной линии другого лимитирующего ограничения, а именно на листовой металл. Любое дальнейшее увеличение значения а вызовет изменение оптимальной крайней точки и перемещение ее в точку . Это показано рис. 12.21 и 12.22.

Рис. 12.21. Увеличение дохода от выпуска деталей типа X

Граничное положение линии уровня еженедельного дохода достигается в момент ее совпадения с ограничением на листовой металл. Этому положению соответствует верхний предел значений параметра а, для которых точка А является оптимальной крайней точкой допустимого множества. Угол наклона ограничения на листовой металл можно найти, преобразовав это уравнение к виду:

Тангенс угла наклона лимитирующего ограничения равен верхний предел параметра а находится из условия - следовательно, ст. за единицу. Таким образом, до того как оптимальный ассортиментный набор переместится из точки А в точку Е, единичный доход от выпуска деталей типа X может возрастать до 100 ф. ст.

Два соответствующих предела значения единичного дохода от выпуска деталей типа Y можно найти аналогичным образом, если в изложенной схеме расчетов заменить х на у. Предположим, что значение коэффициента целевой функции при

х является неизменным, тогда:

и

Рис. 12.22. Воздействие увеличения дохода от выпуска деталей типа X после прохождения линией уровня ее лимитирующего положения

По мере увеличения или уменьшения параметра граничные положения линии уровня еженедельного дохода определяются теми же двумя ограничениями, что и в предыдущем случае. Теперь необходимо записать уравнения этих ограничений так, чтобы х выступал в качестве зависимой переменной:

Фонд рабочего времени:

Тангенс угла наклона равен - 2, следовательно, предельное значение достигается при условии - т.е. ст. за единицу.

Листовой металл:

Тангенс угла наклона равен - (2/5), для предельного значения выполняется условие: следовательно, ст. за единицу.

Крайняя точка А соответствует оптимальному ассортиментному набору только до тех пор, пока доход от выпуска деталей типа Y изменяется в пределах от 12 до 60 ф. ст. за единицу. В случае, если показатели единичных доходов от выпуска деталей типа X или Y будут изменяться по сравнению с их исходными значениями, значение оптимального дохода также будет отличным от 95000 ф. ст.