УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 1.1

Монета брошена 4 раза. Какова вероятность выпадения двух «решек и двух «орлов»

именно в таком порядке;

в любом порядке?

Упражнение 1.2

Игральная кость брошена дважды. Результаты двух исходов обобщаются. Какова вероятность получения (О 23;

Упражнение 1.3

Служащие компании «Tutial plc» распределены в таблице по отделам и полу:

Наудачу выбран один служащий. Найти вероятность того, что это:

женщина;

работник ремонтной мастерской;

мужчина, работающий на складе;

женщина, работающая на складе или автобазе;

работник производственного отдела или отдела реализации?

В той же компании решено организовать консультационный комитет из двух человек. Какова вероятность того, что они будут:

женщины;

оба из производственного отдела;

один из магазина, а другой из автобазы;

женщина из ремонтной мастерской и мужчина, работающий на складе;

обе женщины, работающие на складе, или один человек из производст венного отдела, а другой — мужчина, работающий в отдела реализации?

Упражнение 1.4

На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает обучающимся проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад из этих 10 Две накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что они окажутся:

обе ошибочные;

одна ошибочная, а другая нет?

При условии, что обучающийся идентифицирует неправильную накладную с вероятностью 0,8, а правильную — с вероятностью 0,9, какова вероятность правильной идентификации двух предложенных ему накладных, если:

обе ошибочные;

одна ошибочная, а другая нет?

Упражнение 1.5

Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять, взятых наугад, образцов соответствуют стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии 8 единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию? -

Упражнение 1.6

К каждому из десяти этапов сборки станка прилагается документация. Для каждого этапа вероятность ошибки в документации составляет 0,002. Какова вероятность того, что документы:

в полном порядке;

имеется одна ошибка?

реорганизация концелярской работы могла бы свести количество этапов до пяти, однако, тогда вероятность ошибки возрастет до 0,003. Как изменились бы ответы на вопросы при новых условиях?

Упражнение 1.7

Т — компоненты электронной системы. Вероятность бесперебойной работы каждого из компонентов в течение года 0,95; 0,9; 0,93 соответственно.

Какова вероятность безотказной работы всей системы на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы работали все три компонента?

Допустим, достаточно, чтобы работали два из трех компонентов. Какова вероятность безотказной работы системы в этом случае?

Внесенные усовершенствования сделали эксплуатацию системы возможной, если работает хотя бы один из компонентов. Какова вероятность функционирования системы в течение всего года.

Упражнение 1.8

В электронной системе имеются два компонента и Н, работы одного из которых достаточно для ее функционирования. Вероятности работы компонентов приведены ниже по годам.

Какова вероятность функционирования системы на каждом году эксплуатации?

Какова вероятная продолжительность работы каждого компонента и системы в целом?

Упражнение 1.9

По вероятности попадания в дорожную аварию водители подразделяются страховой компанией на три группы — низкая, средняя, высокая. Среди застрахованных водители этих групп составили 25%, 60%, 15% соответственно. Ниже приведена таблица вероятностей попадания водителей каждой группы в аварии:

Требуется найти:

А не попадал в аварию в течение года, какова вероятность того, что он принадлежит к группе водителей с высокой вероятностью попадания в дорожную аварию?

Если не попадал в аварию в течение четырех лет, какова вероятность того, что он принадлежит к группе водителей с низкой вероятностью попадания в дорожную аварию?

Упражнение 1.10

Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта продукции равна 0,6; плохого — 0,4. Компания собирается провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0,8. Как изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследование предскажет плохой сбыт?

Упражнение 1.11

Какова должна быть сумма страхового взноса за год за дом, оцененный в 60000 ф. ст., чтобы компания могла полностью возместить убытки, если установлено, что в течение года подвергаются разрушению два из каждых ста подобных домов? Из 5% восстановлению не подлежат, для 25% — убытки составляют 8000 ф. ст.; для остальных — 4000 ф. ст.

(см.

Упражнение 1.12

25 участников годового собрания акционеров претендуют на посты председателя, секретаря, казначея и четырех другие поста в правлении.

Определите:

Сколько существует способов замещения вакантных мест претендентами?

Сколько существует способов замещения четырех остальных вакансий после избрания председателя, секретаря и казначея?

Сколько комитетов могут быть сформированы из 25 человек?

Упражнение 1.13

В транспортной компании работают 10 водителей.

На каждый из пяти обслуживаемых через день заводов требуется послать одного из водителей. Сколькими способами это может быть осуществлено?

Каждый второй день требуются два водителя для этих пяти заводов. Сколькими способами это может быть осуществлено?

Упражнение 1,14

Компания выпускает гайки и болты в стандартной британской и метрической системах мер. Однажды коробка с пятнадцатью болтами опрокинулась в ящик с -дюймовыми болтами, а коробка с пятнадцатью гайками — в ящик с -дюймовыми гайками.

Найти:

Какова вероятность, что взятые наугад болт и гайка подойдут друг к другу?

Какова вероятность, что два болта и две гайки, взятые наугад, образуют две подходящие друг к другу пары?

Упражнение 1.15

Инвестор имеет 10000 ф. ст. для покупки акций либо химической компании, либо пивоваренной. Его брокер привел ему следующие данные о вероятной отдаче денег в последующие 12 месяцев:

Каков ожидаемый годовой результат вложения денег:

в химическую компанию?

в пивоварню?

Упражнение 1.16

Международная компания страхования жизни пользуется в своей работе статистическими данными смертности. Ниже приведены цифры о количестве умерших по достижении определенного возраста.

1. Используя таблицу, определите вероятность того, что:

а) выбранный наугад новорожденный умрет до достижения -летнего возраста;

б) выбранный наугад -летний человек умрет до достижения -летнего возраста;

в) выбранный наугад -летний человек умрет до достижения -летнего возраста.

Объясните, почему вероятности в одном случае больше, чем в другом.

2. Корпорация собирается начать страхование -летних. Предполагается, что страхуемый делает единственный взнос в возрасте 50 лет и, если в течение 10 лет он умирает, то наследник получает ст., если же нет, тогда компания ничего не платит. Каков должен быть размер взноса, чтобы компания не понесла убытки?

3. Найдите вероятность того, что компания потерпит убыток, если компания назначит сумму взноса в 2000 ф. ст., а не в 10000 ф. ст. и на условиях вопроса 2 страховой полис подпишут 12 человек?

4. В вышеприведенной таблице использовались данные по смертности 1986 г. Оцените надежность, целесообразность использования этих данных при расчетах страховых тарифов на перспективу.

5. Используя следующие данные, ответьте на вопросы:

а) Известно, что 50-летний человек умрет до достижения 60-летия. Вычислите вероятный год смерти.

б) Подсчитайте размер страхового взноса по данным вопроса 2, если:

ожидаемый год смерти до 60 лет оценивается, как в пункте а);

постоянная ставка — 8% на годовую премию; канцелярские расходы по каждому полису — 100 ф. ст.; компания выплачивает страховым агентам за каждый полис 200 ф. ст. комиссионных.

Упражнение 1.17

Каждую пятницу бронированный автомобиль доставляет заработную плату из местного отделения банка в пять фирм. В качестве меры предосторожности стараются использовать различные маршруты. Водитель выбирает один из предложенных диспетчером вариантов.

Нужно найти:

1. а) Какова вероятность того, что нынешний маршрут не повторит предыдущий? б) Какова вероятность того, что маршрут не повторится ни разу в течение месяца?

в) Какова вероятность того, что фирмы А и В будут обслужены одна за другой в течение одной пятницы?

2. Для сокращения времени доставки денег диспетчер решил оптимизировать маршрут. Сначала бронеавтомобиль завозит деньги в расположенные поблизости друг от друга фирмы А, В и С, а затем — в остальные и Е. Порядок фирм выбирается произвольно. Как эти данные изменяют ответы на вопросы 1а; 1б; 1в?

3. В дополнение к условию вопроса 2: водителю было приказано не повторять маршрут предыдущей недели. Какова вероятность, что маршрут не повторится в течение месяца?