7.4.3. Контрольные карты качественных признаков

Оценка качества продукции через измерение количественных параметров, например, длины изделия, не всегда целесообразна. В некоторых случаях наличие или отсутствие у изделия дефектов зависит от определенных качественных признаков. Например, керамическая фабрика производит китайскую керамику. По окончании процесса обжига каждое изделие подвергается проверке. Контролер выявляет изделия с дефектами лакового покрытия: трещинами, отколотыми кусочками и т.д. Если некоторое изделие имеет хотя бы один из этих признаков, оно относится к браку. В каждой партии продукции обязательно найдется несколько бракованных изделий. Конечно, ошибки всегда имеют место, но их появление должно быть редким и носить случайный характер. Вопрос, который должен задать себе производитель: соответствует ли доля бракованных изделий той доле, которая бывает при нормальных условиях, или имеются какие-то неполадки. В случае, если удельный вес брака слишком высок, каковы причины такой ситуации? К примеру, температура в печи для обжига может изменяться в процессе обжига и оказывать воздействие на качество лакового покрытия.

Различают два типа контрольных карт качественных признаков. В р-картах используется удельный вес бракованных изделий, а в с-картах — число бракованных изделий, приходящихся на одну выборку. В данном параграфе мы остановимся более подробно на р-картах.

Долю бракованных изделий в генеральной совокупности в условиях контролируемого технологического процесса оценивают на основе большого числа выборок:

В -картах долю бракованных изделий в выборке размера принято обозначать через .

Число бракованных изделий в выборке размером в изделий, полученной случайным образом из достаточно большой генеральной совокупности, имеет биномиальное распределение, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, является константой.

Так как также имеет биномиальное распределение.

Стандартная ошибка распределения равна:

Расчет параметров биномиального распределения достаточно трудоемок, поэтому для упрощения расчетов его можно аппроксимировать либо распределением Пуассона, либо нормальным распределением. Мы не будем приводить точные формулировки правил такой аппроксимации, а ограничимся лишь ее общими принципами, которые состоят в следующем:

В процессе аппроксимации используется распределение Пуассона, если и

В процессе аппроксимации используется нормальное распределение, если

При использовании любого из указанных распределений в процессе аппроксимации построение контрольной карты типа аналогично построению контрольной карты среднего. Однако при аппроксимации нормальным распределением процедура значительно упрощается, что показано ниже.

Построенную в результате этого алгоритма контрольную карту можно интерпретировать точно так же, как и контрольные карты среднего и размахов. Если для аппроксимации использовалось нормальное распределите, значения нижней

предупреждающей границы и нижней границы регулирования могут оказаться отрицательными. Поскольку в данном случае отрицательные значения недопустимы, можно либо не принимать во внимание нижние границы карты, либо провести аппроксимацию заново с использованием распределения Пуассона.

Пример 7.6. Компания производит пластмассовые походные чашки. В течение времени, когда было точно известно, что технологический процесс находится под контролем, было проведено 25 выборок, каждая объемом в 100 единиц. Оборудование было соответствующим образом налажено, использовалось сырье допустимого качества, наблюдение за ходом процесса осуществлял оператор соответствующей квалификации. Был произведен контроль изделий в каждой выборке. В табл. 7.3 приведены данные об обнаруженных бракованных изделиях.

Таблица 7.3. Число бракованных изделий в каждой на 25 выборок размером в 100 единиц

Нужно построить контрольную карту качественного признака.

Решение

Общее число бракованных изделий в 25 выборках равно 123, следовательно, оценка доли бракованных изделий в генеральной совокупности составит:

Хотя значение достаточно мало и т.е. меньше 5, прибегнем сначала к аппроксимации нормальным распределением и определим положение границ на контрольной карте.

Центральная линия: 0,049.

Предупреждающие границы: т.е. .

Границы регулирования: т.е. .

Нижняя граница регулирования отрицательная, поэтому ее либо не наносят на контрольную карту, либо полагают равной нулю.

Так как в данном случае аппроксимация с использованием распределения Пуассона, вероятно, позволила бы получить лучшие результаты. Среднее число дефектов в выборке пр - 4,9. Следовательно, распределение вероятностей Пуассона имеет вид:

Значения предупреждающих границ и границ регулирования, равные 0,001, 0,025, 0,975 и 0,999, определяются в процессе расчета кумулятивных вероятностей, что показано в табл. 7.4.

Положим, что нижняя граница регулирования равна нулю, поскольку она не может иметь отрицательные значения. Положение оставшихся трех границ определяется как середина соответствующего интервала. Например, верхняя предупреждающая граница лежит между и, следовательно, находится на уровне

Таблица 7.4. Использование аппроксимации распределением Пуассона для определенна положения границ контрольной карте (см. скан)

Продолжение табл. 7.4 (см. скан)

Ниже приведены результаты аппроксимации двумя указанными распределениями. (см. скан)

На рис. 7.10 построена контрольная карта по результатам аппроксимации распределением Пуассона.

Пример 7.7. Та же компания продолжает осуществлять случайную выборку из готовой продукции, полученной в ходе данного технологического процесса, объемом в 100 чашек. Табл. 7.5 содержит информацию о числе бракованных изделий в 15-ти следующих друг за другом выборках. Используя эти данные, оценим, является ли технологический процесс контролируемым.

Рис. 7.10. Контрольная карта качественного признака

Таблица 7.5. Число бракованных наделяй в каждой из 15 выборок объемом в 100 штук

Решение

Нанесем выборочные доли на контрольную карту, построенную на рис. 7.10 (рис. 7.11).

Как следует из рис. 7.11, процесс находился под контролем до момента проведения выборки № 11. Доля бракованных изделий в выборке № 11 выходит за пределы верхней предупреждающей границы. Предполагается, что выборка № 12 производится не через установленный интервал времени, а сразу после выборки № 11. Поскольку значение выборки № 12 вновь попадает в промежуток между двумя предупреждающими границами, мы можем сделать вывод о том, что выборка № 11 является исключением, а не индикатором того, что процесс вышел из-под контроля. Кроме того, следует отметить, что большая часть значений лежит ниже уровня центральной линии, равного 0,049. Этот факт можно интерпретировать как улучшение технологии.

Рис. 7.11. Контрольная карта качественного признака для процесса производства пластмассовых чашек