УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 14.1

Городская администрация Баттербай Сити контролирует услуги микроавтобусов, которые развозят туристов и покупателей с автобусов и железнодорожного вокзалов в различные районы города. О потоке пассажиров, прибывающих на автобусную остановку, находящуюся около железнодорожного вокзала, были собраны следующие данные:

По расписанию микроавтобусы должны прибывать каждые 10 мин, однако изменчивость транспортных условий привадит к следующему распределению их прибытия:

Число мест в автобусе определяется следующим распределением:

Требуется:

1. Построить имитационную модель потока из 30 пассажиров, прибывающих на автобусную остановку, в предположении, что моделируемый счетчик времени установлен на нулевой отметке.

2. Оценить среднее время ожидания автобуса пассажиром и среднюю длину очереди.

Упражнение 14.2

Решите пример 14.3 (раздел 14.4) в предположении, что подача повторного заказа производится, если уровень запаса аккумуляторов опускается ниже 1000 шт.

Сравните полученные вами результаты с результатами примера 14.3.

Упражнение 14.3

1. Опишите преимущества и недостатки применения имитационных моделей в исследовании систем массового обслуживания по сравнению с методами теории массового обслуживания.

2. По данным проведенных наблюдений было установлено, что интервалы между поступлениями жалоб от покупателей в крупном универмаге подчиняются следующему распределению:

Жалобы покупателей рассматриваются одним служащим универмага, однако все покупатели, которые сочли свои претензии "серьезными" или которым пришлось ждать 5 мин и более, прежде чем быть принятыми служащим, который рассматривает жалобы, требуют переговоров с главным администратором, который принимает их жалобы самостоятельно. Продолжительность рассмотрения жалоб клиентов соответствующим служащим аппроксимируется нормальным распределением со средним значением 7 мин и стандартным отклонением, равным 2 мин. Было оценено, что 20% покупателей, имеющих жалобы, считают свои претензии "серьезными".

Требуется:

а) Пользуясь приведенными выше данными, таблицей случайных чисел и нижеследующей таблицей, полученной из таблицы кумулятивного стандартного нормального распределения, описать этапы построения имитационной модели потоков прибытия и обслуживания клиентов в условиях данной системы.

б) Используя приведенные ниже случайные числа, построить имитационную модель обслуживания 10 имеющих жалобы покупателей, если пре тензии некоторых из них являются серьезными.

в) Используя построенную имитационную модель, оценить долю покупателей, которые действительно встретятся с главным администратором универмага. Затем оценить общее время, которое главный администратор затратит на рассмотрение жалоб в предположении, что у него 8-часовой рабочий день, а время, которое он затрачивает на рассмотрение одной жалобы, подчиняется соответствующему распределению для служащего универмага, рассматривающего жалобы клиентов,

г) Кратко поясните, каким образом можно использовать имитационную модель для принятия решения о целесообразности или нецелесообразности принятия на работу еще одного служащего, рассматривающего жалобы покупателей.

(АССА, июнь 1988 г.).

Упражнение 14.4

Корпорация "Pomulus Products" производит операции со всеми клиентами в 30-дневный срок. Как показывает опыт, 80% всех счетов закрывается в течение одного месяца, а 70% оставшихся счетов — в течение следующего месяца после того, как клиенту посылается стандартное письмо-напоминание о просроченных счетах. Половина счетов остается неоплаченной в течение двух месяцев. После того, как было отправлено письмо, содержащее "последнее предупреждение", выплаты производятся в течение третьего месяца.

Со всеми счетами, которые оказались неоплаченными в течение трех месяцев, поступают одним из двух возможных способов. Если сумма на счету превышает 1000 ф. ст., то для того, чтобы вернуть деньги, компания прибегает к законодательным процедурам. Принимая во внимание связанные с судебными процедурами издержки, доля исходной суммы, которую в конечном счете удается вернуть, варьирует следующим образом:

Прежде, чем окончательные выплаты будут произведены, проходит, как правило, не менее трех месяцев.

Если денежная сумма на счету составляет менее 1000 ф. ст., то компания продает неоплаченные счета другой компании, специализирующейся на скупке долговых обязательств, получая за это 50% исходной суммы, выплаты которой производятся в течение одного месяца, т. е. к концу четвертого месяца.

Суммы счетов, выписанных компаний за последние месяцы, распределяются следующим образом:

Примем предпосылки о том, что связь между суммой счета в момент его оплаты и долей общей суммы, которую удается возвратить, отсутствует, а также о том, что оплата всех счетов производится в последний день каждого месяца. Темпы роста основного капитала компании равны 1,5% в месяц.

Требуется:

1. Определить вероятность того, что выплаты по любому счету будут произведены в конце:

а) второго месяца;

б) третьего месяца;

в) четвертого месяца;

г) шестого месяца.

2. Определить, какова ожидаемая стоимость в настоящий момент нового счета, размер неоплаченной суммы которого составляет 2000 ф. ст.?

Значения ежемесячных коэффициентов дисконтирования:

3. Показать, используя указанные ниже случайные числа, каким образом можно построить имитационную модель системы в целом и определить текущее значение стоимости двух моделируемых счетов.

(АССА, декабрь 1986 г.).

Упражнение 14.5

Администрация корпорации "Hentor Products pic” рассматривает вопрос о покупке новой упаковочной машины с автоматическим управлением. Новая машина позволит ликвидировать две старые, которые в настоящее, время используются для упаковки продукта X. Ввиду более высокой автоматизации технологического процесса новая машина также позволит сократить затраты на оплату труда, а ввиду ее более высокой производительности — увеличить объемы производства. В связи со значительным ростом спроса на продукт X, по оценкам специалистов, установка новой машины приведет к увеличению прибыли за каждый из ближайших трех лет. Однако ввиду неопределенности спроса ежегодный приток капитала (включая сумму экономии), вызванный покупкой новой машины, нельзя оценить точно, поэтому при его расчете за каждый год использовались следующие вероятностные оценки:

Поскольку в объемах продаж продукта X также существует неопределенность, то для решения вопроса о целесообразности или нецелесообразности покупки новой упаковочной машины необходимо учитывать величину притока капитала только за ближайшие три года. Чистая стоимость новой машины за вычетом ликвидационной стоимости старого оборудования составит 42000 ф. ст. Воздействие налоговой политики можно не учитывать.

Требуется:

1. Не принимая во внимание изменение стоимости во времени, определить, какая из комбинаций ежегодных притоков капитала приведет к отрицательному значению общего притока капитала, а также вероятность появления этого события.

2. Рассчитать на основе средних значений притока капитала за каждый год текущее значение чистой стоимости новой машины, если стоимость капитала для компании равна 15%. Соответствующие коэффициенты дисконтирования имеют следующие значения:

3. Построив имитационную модель расчета текущего значения чистой стоимости, оценить значение риска, соответствующее данной ситуации. При моделировании 5 множеств притоков капитала используйте приведенные значения случайных чисел. На основе полученных по имитационной модели результатов рассчитать

ожидаемое значение чистой стоимости на настоящий момент и вероятность того, что внедрение новой машины приведет к получению отрицательного значения чистой стоимости на настоящий момент.

(АССА, декабрь 1985 г.).

Упражнение 14.6

Мойщик машин, который в настоящее время работает на себя, установил свое оборудование на автомобильной стоянке около оживленной транспортной магистрали. На автомобильной стоянке могут находиться одновременно максимум два автомобиля, включая автомобиль, обслуживание которого производится в данный момент, причем в соответствии с местными правилами движения стоянка на дороге запрещена. Следовательно, любой потенциальный клиент, подъезжающий к стоянке в тот момент, когда все места парковки заняты, является потерянным для мойщика машин. В нижеследующей таблице приведены распределение интервалов прибытия потенциальных клиентов и распределение времени их обслуживания.

Требуется:

а) Оценить среднее число потенциальных клиентов в час.

б) Используя приведенные ниже случайные числа, построить имитационную модель работы мойщика машин по обслуживанию 10 потенциальных клиентов и таким образом оценить число потерянных клиентов за 1 ч, пояснив при этом, каким образом генерируются интервалы между прибытиями клиентов и длительность обслуживания.

в) Почему оценки, найденные в 6), недостаточно надежны, и каковы пути улучшения их обоснованности?

г) Мойщик машин рассматривает вопрос о принятии на работу ассистента. В предположении, что ассистент будет обслуживать клиентов в соответствии с распределением времени обслуживания, приведенным выше для мойщика машин, постройте имитационную модель работы обслуживающего персонала из двух человек по оказанию услуг 10 потенциальным клиентам, используя приведенные выше случайные числа.

Оцените число потерянных клиентов в час для новой системы обслуживания.

Объясните, почему при сравнении двух имитационных моделей в расчетах по ним лучше использовать одно и то же множество случайных чисел.

д) Если математическое ожидание прибыли на одного клиента равно 50 пенсам, рассчитать размер заработной платы ассистента на основе результатов имитационного моделирования, проведенного ранее.

(АССА, июнь 1990 г.).