6.3. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗЫ НА ОСНОВЕ ВЫБОРОЧНОЙ СРЕДНЕЙ: ГЕНЕРАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ ИЗВЕСТНА

Сразу заметим, что конкретный способ проведения испытания гипотез может изменяться. Метод, описанный ниже является единственным, в котором используются стандартные таблицы вероятностного распределения.

Пример 6.2. Рафинированный сахарный песок упаковывается в пакеты весом в среднем 1,0 кг со стандартным отклонением кг. Случайная выборка пакетов готовой продукции выявила средний вес кг. Имеется ли какое-нибудь основание предполагать, что фасовочная машина работает без нарушений в настройке?

Решение

Можно предположить, что вес пакетов, наполненных машиной, соответствует приблизительно нормальному вероятностному распределению. Нулевой гипотезой является то, что настройка машины не отклоняется от нормального состояния, выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной генеральной совокупности со средней, равной 1,0 кг, то есть кг.

Есть ли основание полагать, что настройка машины осталась на надлежащем уровне или она изменилась? Если данные, взятые из выборки, заставляют нас

отклонить нулевую гипотезу, логично предположить, что машина работала при неправильной настройке и, следовательно, альтернативной гипотезой является: выборка была взята не из нормального распределения со средней равной 1,0 кг, то есть кг.

Из следует, что выборочное распределение выборочных средних является тоже нормальным распределением со средней, равной 1,0 кг, и стандартной ошибкой, равной кг. Проверим нулевую гипотезу при 5%-ной значимости, используя нормальное распределение с двумя границами (см. рис. 6.1.).

Используя таблицы стандартного распределения, находим, что и равны 1,96 стандартным ошибкам расстояния от генеральной средней, и тогда рис. 6.1. может быть представлен следующим образом:

Рис. 6.3. Критические значения выборочного распределения для 5%-ого уровня авячимостя

Рис. 6.4. Критические значения стандартного нормального распределения для 5%-ого уровня значимости

Если теперь мы имеем значения выборочной средней х, равное 1,01 кг, то можем выразить его отклонение от генеральной средней через количество стандартных ошибок:

Это то же самое выражение, которое использовалось в гл. 2, но стандартное отклонение генеральной совокупности заменяется стандартной ошибкой выборочного распределения. Следовательно,

стандартным ошибкам, которые лежат выше средней

Значение стандартизованной переменной 4,0 больше, чем граничная величина 1,96. Это означает, что:

Р (стандартизованная переменная и результат существенен на -ном уровне значимости. Если мы нанесем на диаграмму значение то оно попадает в область отклонения . Поскольку результат существенен на -ном уровне, мы приходим к заключению, что имеется резонное основание, что выборочная средняя не согласуется с нулевой гипотезой. Мы отклоняем эту гипотезу в пользу альтернативной. Вероятность появления выборочной средней, равной 1,01 кг или больше, из-за случайных колебаний результатов выборочного исследования в случайной выборке величиной 16 единиц, взятой из нормальной генеральной совокупности, меньше чем 5%. Таким образом, мы считали, что выборка была взята из генеральной совокупности, средняя которой была не 1,0 кг. Мы делаем вывод, что машина работала в условиях нарушения нормальной настройки. Рассмотрим другой пример процедуры принятия решения.

Пример 6.3. Штамповочный пресс делает отверстия в металлических шайбах. В среднем величина отверстия мм со стандартным отклонением мм. Случайная выборка шайб показала, что средний диаметр мм. Сохраняется ли нормальная настройка пресса?

Решение

Можно предположить, что диаметр отверстий, сделанных штамповкой, следует приблизительно нормальному распределению.

Нулевой гипотезой является то, что машина работает при правильной настройке. Выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной совокупности со средней 4,0 мм, то есть мм.

Если данные выборки приводят к отклонению нулевой гипотезы, логично предположить, что машина работает при неправильной настройке, то есть альтернативной гипотезой является:

Выборка не была взята из нормального распределения со средней 4,0 мм, то есть мм.

Из следует, что выборочное распределение выборочных средних также является нормальным распределением со средней 4,0 мм и стандартной ошибкой мм. Из следует, что мы будем проводить двустороннюю проверку. Примем решение относительно нулевой гипотезы на -ном уровне значимости. Используя таблицы стандартного нормального распределения, находим, что граничные величины (обе) равны 2,576 стандартным ошибкам расстояния от средней Это показано на рис. 6.5.:

Рис. 6.5. Критические значения величины для 1%-ного уровня значимости

Рассчитаем по нашим данным величину

Следовательно:

(число стандартных отклонений от лежащих ниже

Величина z является критериальной статистикой. Значение 3,0 меньше критической величины 2,575. Это означает, что

Результат существенен на уровне 1%. Мы заключаем, что имеется основание предполагать что выборка не согласуется с нулевой гипотезой. Мы отклоняем эту гипотезу в пользу альтернативной. Вероятность того, что средняя по выборке 3,88 мм

или меньше из-за случайностей выборки 25 единиц, взятых из нормальной генеральной совокупности со средней 4,0 мм, меньше, чем 1%. Следовательно, мы делаем вывод, что настройка штамповочного пресса отклоняется от нормальной.

Пример 6.4. Высота отдельных ростков рассады распределена нормально со средней см и дисперсией В прошлом году в ящик, в кагором были высажены таких растений была внесена по ошибке двойная корма удобрения. Средняя высота рассады в этом ящике достигла см. Есть ли какое-либо основание предполагать, что повышенное внесение удобрений дало положительный эффект?

Решение.

Нулевой гипотезой является то, что дополнительное внесение удобрений не дало эффекта.

Выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной генеральной совокупности со средней см. Есть ли основание предполагать, что сверхудобрение не дало эффекта или, наоборот, способствовало росту растений? Если мы решаем отклонить нулевую гипотезу, логически предположим что сверхудобрение дает положительный эффект и растения становятся очень высокими. Таким образом, альтернативной гипотезой является следующая:

Выборка не была взята из нормального распределения со средней 53 см, а из генеральной совокупности со средней большей, чем 53 см, то есть см.

Из Но следует, что распределение выборочных средних также является нормальным распределением со средней 53 см и стандартной ошибкой см. Из следует, что мы используем проверку с одной границей. Примем решение нулевой гипотезы на -ном уровне значимости. Используя таблицы стандартного нормального распределения, находим, что граничная величина стандартных ошибок выше средней. Граничное значение выборочного распределения показано на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Граничное значение для -ного уровня значимости

Рассчитываем проверочную статистику

Следовательно,

Рассчитанное значение меньше, чем граничная величина Это означает, что:

Р (стандартизованная переменная

Результат не существенен при -ном уровне значимости. Поэтому можно заключить, что наблюдаемое явление согласуется с нулевой гипотезой, которую мы принимаем. Вероятность появления выборочной средней 55 см или более из-за случайностей выборки 15 наблюдений, взятых из нормальной генеральной совокупности со средней 53 см, больше чем 0,1%. Мы верим, что выборка взята из генеральной совокупности, для которой средняя составляет 53 см, т.е. что вспомогательное внесение удобрений не дало положительного эффекта.