6.6. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗ О ДВУХ ГЕНЕРАЛЬНЫХ ДИСПЕРСИЯХ

Существует много ситуаций, в которых вариация данных важна не менее, чем средняя величина. Когда мы оцениваем портфель инвестиций, то исходим из ожидаемой прибыли, но, в то же время нельзя сбрасывать со счетов риск инвестирования. Такой риск может быть оценен на основе дисперсии возможной прибыли инвестиций (см. раздел 3.3). Предположим, что у нас имеются две независимые выборки и мы хотим знать, взяты ли они из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией. Например, предположим, что компания производит определенный элемент на двух автономных производственных линиях — А и В. Характеристики обеих линий одинаковые. Как определить, одинакова ли вариация продукции на этих линиях? Ответ на этот вопрос можно получить сравнив дисперсии случайных выборок, взятых из продукции первой и второй линий, используя соответствующую процедуру испытания гипотез. Так же можно сравнить риск двух различных инвестиционных портфелей. Сравнение дисперсий фактической прибыли, полученной в прошлые годы, даст возможность принять решение.

6.6.1. Отношение дисперсий или F-критерий

В разделе 4.4. было показано, что отношение двух дисперсий подчиняется распределению F-статистики:

Поскольку лучшая оценка дисперсии генеральной совокупности вычисляется по формуле:

то

Нулевая гипотеза предполагает, что две выборки независимы и взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, . В атом случае F равно 1. Из теории испытания гипотез мы знаем, что если даже нулевая гипотеза верна, то маловероятно, что имеет точно такое же значение, что и из-за колебаний отбора. Следовательно, маловероятно, что F-статистика будет равна 1. Решением, которое мы собираемся принять, используя испытание гипотез, является то, будет ли истинная величина F достаточно близка к 1 для того, чтобы подтвердить вероятность, что выборочные совокупности были взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией. В этом случае различие в значениях и может быть отнесено к случайностям.

Как отмечалось в разделе 4.4.4, F-распределение зависит от числа степеней свободы в обеих сравниваемых выборках. Когда мы производим оценку единственного генерального параметра по выборке, то теряем одну степень свободы. Таким образом, для каждой выборки остаются степени свободы.

Для того, чтобы привести стандартную таблицу для F-распределения к более удобному виду, даны только значения , то есть это — таблицы с одной границей. Чтобы использовать эти таблицы при расчете делим большую дисперсию на меньшую. Проверочной статистикой является:

Пример 6.8. Биржевой маклер исследует две инвестиции от имени клиента. Инвестиция А предполагается на срок 10 лет с ожидаемой ежегодной прибылью в течение этого периода 17,8%. Инвестиция В рассчитана на срок 8 лет также с ожидаемой готовой прибылью 17,8%. Дисперсии ежегодных прибылей от двух инвестиций составляют Есть ли какое-либо основание считать, что риски инвестиций А и В неравны? Предполагается, что распределения ежегодных прибылей на инвестиции подчиняются нормальному распределению.

Решение.

Дисперсии ежегодных прибылей могут быть использованы для определения риска. Мы хотим знать, взяты ли эти две выборочные совокупности ежегодных прибылей от двух инвестиций, из нормальных генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Поэтому:

Будем испытывать нулевую гипотезу, используя F-критерий с двумя границами, на -ном уровне значимости. Это эквивалентно -ному уровню значимости с одной границей, поэтому мы используем для определения критического значения в таблице Лучшие оценки двух генеральных дисперсий могут быть получены на основе выборочных дисперсий следующим образом:

Поскольку:

Следует помнить, что при использовании стандартных таблиц значения

F-таблицы построены так, что степени свободы большей дисперсии степеней свободы) приводятся вверху таблицы, а степени свободы меньшей дисперсии степеней свободы) — по столбцу вниз. Используя -ное табличное значение F из Приложения 2, что эквивалентно -ному уровню значимости с двумя границами, с 7 и 9 степенями свободы, критическая величина равна:

По данным выборки, проверочная статистика равна:

Поскольку:

Рис. 6.10. Критическая величина Р-критерия на -ном уровне значимости с двумя границами

результат существен на -ном уровне значимости. У нас есть основания предполагать, что риски (определенные дисперсиями ежегодных прибылей) двух инвестиций не равны.

П Пример 6.9. Компания производит химический продукт X, используя серийное производство. Имеются два разных способа производства, и дирекция компании решила использовать тот способ, который дает более твердый продукт. Твердость химического продукта X может быть оценена через его плотность. Чем дольше процесс затвердевания, тем меньше будет вариация плотности.

Управляющий производством компании провел испытаний изделий, изготовленных первым способом и получил стандартное отклонение для плотности химического продукта, равное 4,1 единиц Затем он провел испытаний изделий, изготовленных вторым способом, и получил стандартное отклонение для плотности химического продукта, равное 2,0 единицы . Дает ли второй способ действительно более твердое вещество, нежели первый способ? Предполагается, что плотность химического вещества нормально распределена.

Решение

Нулевая гипотеза: выборки взяты из нормальных генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Твердость продукции при обоих методах производства одинакова:

предполагает, что при втором способе — продукция более твердая при наименьшей дисперсии. показывает, что мы должны применить испытание с

одной границей. Будем испытывать нулевую гипотезу на 1%-ном уровне значимости. Проверочкой статистикой является:

Лучшие оценки генеральных дисперсий — это выборочные дисперсии:

Используя табличное значение F-критерия из F-таблицы с одной границей при уровне значимости 1% с 9 степенями свободы по столбцу (см. Приложение 2) и 11 степенями свободы по строке, находим критическое значение:

По данным выборки находим F-статистику:

Поскольку:

то результат не существенен на 1%-ном уровне, т.е. на этом уровне значимости у нас нет причины предполагать, что второй способ даст более твердое вещество, чем первый.