2.3.3. Математическое ожидание и стандартное отклонение для биномиального распределения

Для любой дискретной случайной величины математическое ожидание составляет:

Может быть показано, что для случайной величины с биномиальным распределением вероятностей:

где — число опытов;

— вероятность успеха в каждом из них;

— биномиальная вероятность.

Аналогично стандартное отклонение для дискретной случайной величины равно:

Для случайной величины с биномиальным распределением вероятностей:

Следовательно, дисперсия равна где — вероятность “неудачи" в любом из опытов.

Эти характеристики биномиального распределения расчитаны в примере 2.5.

Пример 2.5. По данным примера 2.4 найдем математическое ожидание сломавшихся за день станков и стандартное отклонение. Для расчетов используем сначала общую формулу для и , а потом формулу для биномиального распределения.

Таблица 2.7. Вероятность поломки станков в день

По общей формуле ожидаемое количество поломок в день:

по формуле биномиального распределения:

т. е. ожидаемое количество поломок — один станок в день. Стандартное отклонение по общей формуле:

отсюда

(до четырех знаков после запятой).

По формуле биномиального распределения:

(до четырех знаков после запятой), дисперсия:

Иногда нужно знать долю “успехов” в общем количестве опытов. Исходя из формулы математического ожидания, получим:

Формула стандартного отклонения доли “успехов” имеет следующий вид:

Отсюда в примере 2.5, предполагаемая доля поломок станков в день:

а стандартное отклонение:

(до трех знаков после запятой).

Дисперсия доли поломок в день:

Пример 2.6. Компания производит пружины, 10% из которых оказываются бракованными. Сто пружин отобраны для контроля качества. Требуется найти ожидаемое количество бракованных пружин и стандартное отклонение бракованных в отобранных образцах, а также вероятность того, что в выборке по меньшей мере 15 бракованных пружин.

Решение.

Используем биномиальное распределение, так как:

1. Имеются 100 идентичных опытов.

2. Опыты независимы, так как пружины отбираются наугад.

3. Для каждого опыта возможны два исхода: пружина может быть с дефектом и без оного.

4. Вероятность, что любая из пружин имеет дефект, равна 0,1. Поскольку выборка делается из массовой партии, доля бракованных пружин сильно измениться не может.

Ожидаемое количество пружин с дефектом:

Стандартное отклонение брака:

Вероятность того, что имеется бракованных образцов в выборке:

Расчеты в данном случае займут много времени и места, поэтому методы приблизительного вычисления вероятности будут рассмотрены в § 2.5 и 2.8.