1.4. ДЕЙСТВИЯ С ВЕРОЯТНОСТЯМИ

Для начала определимся с терминологией:

Независимыми событиями А и В называются такие, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Например: по одному разу брошены монета и кость, выпали — «решка» и «6». Результаты обоих событий друг на друга не влияют, поэтому называются независимыми.

Несовместимыми событиями А и В называются такие, если может произойти только одно из них. Например, брошена игральная кость: А — выпало четное число, В — нечетное. Если кость брошена только один раз, А и В произойти одновременно не могут, поэтому они — несовместные события.

Вероятность сложных событий определяется двумя правилами — правилом сложения вероятностей и правилом умножения вероятностей.

1.4.1. Правило сложения вероятностей

Для простоты рассмотрим лишь два события — А и В. Правило сложения вероятностей применяется для подсчета вероятности осуществления событий А или В, или их обоих сразу:

Если события А и В несовместимы, то:

Так как события А и В — несовместимые, то они не могут произойти одновременно, значит:

Пример 1.7. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность выпадения «двойки» или нечетного числа?

Решение.

Возможны 6 исходов и . Назовем событием А выпадение «двойки», а событием В — выпадение «единицы», «тройки» или «пятерки».

Решить задачу можно либо по правилу симметрии, либо используя правило сложения вероятностей.

1. По правилу симметрии:

2. По формуле сложения вероятностей:

два события несовместимы, значит:

Отсюда

Пример 1.8. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность выпадения «двойки» - или четного числа?

Решение.

События совместимы, когда они могут произойти одновременно. Поэтому:

1. По правилу симметрии: существуют три исхода следовательно, вероятность появления «двойки» или любого другого четного числа равна 3/6.

2. По правилу сложения вероятностей:

а так как А и В не являются взаимоисключающими, то

Пример 1.9. Число дефектов в изделии может быть любым - 0,1, 2, 3, 4, и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта — 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?

Решение.

Опять события несовместимы, поэтому:

Пример 1.10. Прогноз метеорологов:

Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?

Решение.

По формуле сложения вероятностей:

Мы использовали таблицы, схемы, логические «деревья» для иллюстрации возможных исходов эксперимента. Диаграмма Венна — еще один вид представления результата в графической форме. Здесь события изображены в виде окружностей, помещенных внутри прямоугольника. В данном случае одна окружность обозначает дождь, другая — ветер. Их общее пространство — дождь и ветер. Свободная площадь — отсутствие дождя и ветра. Значения вероятностей должны быть проставлены в соответствующих местах диаграммы (см. рис. 1.3):

Если А и В независимы, то правило выглядит так:

Пример 1.12. Игральная кость брошена дважды. Событие А — выпадение "двойки” при первом бросании, событие В — выпадение нечепюго числа при втором бросании. Какова вероятность того, что события А и В произойдут в одном эксперименте? Решение.

Так как результат второго опыта не зависит от результата первого, то события А и В — независимы, тогда по формуле умножения вероятностей: -

Покажем решение на основе «дерева вероятностей». Во-первых, изобразим последовательность исходов: (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Последовательность исходов

Во-вторых, проставим вероятности на каждой «ветви» (рис. 1.5.). В-третьих последовательно перемножим вероятности по «стволу» каждой «ветви» и получим значение вероятности каждого конкретного исхода.

Рис. 1.5. Вероятность возможных исходов

Рис. 1.3. Прогноз погоды в виде диаграммы Венна