2.7.2. Стандартное нормальное распределение

Рис. 2.11. Стандартное нормальное распределение

В таблицах нормального распределения приведены значения вероятностей для z от 0 до 3,5. Так как распределение симметрично, то эти же значения могут быть использованы для отрицательных z (см. рис. 2.12).

Значение непрерывной случайной величины можно выразить числом стандартных отклонений от среднего значения следующим образом:

где х — значение случайной величины;

— среднее значение;

а — стандартное отклонение;

z — на сколько стандартных отклонений отличается интересующее нас значение случайной величины от среднего.

Рис. 2.12. Стандартное нормальное распределение

Пример 2.13. Производителю электроламп известно, что средний срок работы лампы составляет 600 ч, а стандартное отклонение срока работы — 40 ч. Какова вероятность, что срок работы:

1) менее 700 ч;

2) менее 550 ч;

3) от 550 до 700 ч;

4) 2% ламп имеют минимальнай срок работы. Какова его величина?

Решение.

На рис. 2.13 приведена функция плотности распределения электроламп по сроку работы.

Рис. 2.13. Распределение электроламп по сроку работы

1. На рис. 2.14 вероятность того, что электролампа проработает менее 700 ч, представлена заштрихованным пространством.

Рис. 2.14. Вероятное» того, что электролампа проработает менее 700 ч

Теперь перейдем к стандартному нормальному распределению со средним, равным 0, и стандартным отклонением, равным 1. Подсчитаем, сколько стандартных отклонений находится между средним т. е. найдем значение

(700 ч отличается от среднего на 2,5 стандартных отклонений).

По таблице нормального распределения находим:

Так как общая вероятность равна 1, то:

т.е. вероятность того, что лампа проработает меньше 700 ч, равна 99,38%. Иными словами, 99,38% ламп проработают 700 ч и меньше.

2. На рис. 2.15 вероятность того, что лампа проработает меньше 550 ч, представлена заштрихованным пространством.

Теперь сведем нормальное распределение к единому виду со средним, равным 0, и стандартным отклонением, равным 1. Подсчитаем, сколько стандартных отклонений находится между средним

(550 ч на 1,25 стандартных отклонений меньше среднего).

Рис. 2.15. Вероятность того, что срок работы лампы будет меньше 550 ч

Так как нормальное распределение симметрично, то:

По таблице нормального распределения находим:

или

т. е. вероятность того, что срок работы лампы будет меньше 550 ч, равна 0,1056. Иными словами, 10,56% ламп проработают меньше 550 ч.

3. На рис. 2.16 площадь заштрихованного пространства равна вероятности того, что лампа проработает от 550 до 700 ч.

Требуемые вероятности мы рассчитали в пунктах 1 и 2:

т,е. вероятность того, что электролампа проработает от 550 до 700 ч, равна 0,8882. Иными словами, 88,82% ламп будут работать 700 ч.

Рис. 2.16. Вероятность того, что лампа проработает от 550 до 700 ч

4. Этот вопрос несколько отличается от остальных. Отталкиваясь от процента лампочек, найдем соответствующий срок работы (см. рис. 2.17).

Рис. 2.17. Продолжительность работы 2% ламп

Во-первых, находим в таблице значение соответствующее вероятности 0,02; z равно 2,055. Это означает, что случайная величина, имеющая вероятность 0,02, на 2,055 стандартных отклонений больше среднего. Ввиду симметричности нормального распределения ту же самую вероятность имеет случайная величина, на 2,055 стандартных отклонений меньше среднего.

Тогда искомый срок работы равен: Т.е. для 2% ламп с минимальной продолжительностью работы срок работы составляет 517,8 ч.