12.6. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И СИМПЛЕКС-МЕТОД

Итоговую таблицу симплекс-алгоритма можно использовать для проведения анализа чувствительности решения задачи линейного программирования. Значения остаточных переменных в столбцах, соответствующих лимитирующим ограничениям, представляют собой изменение значений базисных переменных при использовании дополнительной единицы лимитирующего ресурса.

Пример 12.9. В качестве итоговой симплекс-таблицы будем пользоваться таблицей 12.6 примера 12.8. С помощью данных этой таблицы необходимо определить:

1. Влияние на оптимальное решение задачи сверхнормативного запаса ресурса в количестве 1 кг;

2. Влияние на оптимальное решение задачи сверхнормативного запаса ресурса в количестве 2 кг;

3. Влияние на оптимальное решение задачи сверхнормативного запаса ресурса в количестве 5 кг;

4. Максимальное дополнительное количество ресурса которое используется полностью и не приводит к созданию излишка ресурса;

5. Влияние на оптимальное решение задачи уменьшения запаса ресурса на 2 кг.

Решение.

Воспроизведем формулировку задачи линейиого программирования и данные итоговой симплекс-таблицы.

Максимизировать еженедельную прибыль Р, где ст. в неделю) в условиях ограничений на кг в неделю;

Таблица 12.9. Итоговая симплекс-таблица (см. скан)

1. Если существует сверхнормативный запас ресурса в количестве 1 кг, жесткость соответствующего лимитирующего ограничения снижается на 1 кг. Элементы столбца — это изменения базисных переменных, вызванные снижением жесткости данного ограничения. Ниже приводится итоговая таблица, в которой представлены только значения соответствующих элементов и процедура их расчета.

Таблица 12.10. Модифицированные элементы итоговой симплекс-таблицы (при наличии 1 кг дополнительно) (см. скан)

Один дополнительный килограмм ресурса ведет к увеличению значения х на 1/3 единицы, росту остатка ресурса на 2/3 кг, снижению значения у на 1/3 единицы и к увеличению значения максимальной прибыли за неделю на ст., что соответствует значению теневой цены на, ресурс Новое оптимальное решение состоит в производстве 9 продукта X и 10 продукта У в неделю. При этом значение остаточной переменной, т.е. неиспользуемое количество ресурса 2, равно 8 кг. Остальные переменные принимают нулевые значения.

Равенство нулю остаточных переменных для ограничений 1 и 3 означает полное использование ресурсов Следовательно, данные ограничения являются лимитирующими. Максимальное значение прибыли за неделю составляет ст. Приведенные значения соответствуют графическому решению задачи (рис. 12.24).

Рис. 12.24. Производство продуктов в неделю при наличии 1 кг ресурса дополнительно

2. Если имеется сверхнормативный запас в количестве 2 кг, жесткость соответствующего лимитирующего ограничения также снижается на 2 кг. Элементы столбца умножаются на 2. Полученные новые значения характеризуют изменения в базисных переменных, происшедшие в связи с использованием 2 кг ресурса дополнительно. В табл. 12.11 показаны значения соответствующих элементов итоговой таблицы и процедура их расчета.

Таблица 12.11. Модифицированные элементы итоговой симплекс-таблицы (при наличии 2 кг дополнительно) (см. скан)

Новое оптимальное решение состоит в выпуске и единиц продуктов X и Y соответственно в неделю. Остаток, соответствующий ограничению 2, равен

Значения других остаточных переменных являются нулевыми. Это означает, что соответствующие им ограничения являются лимитирующими. Максимальное значение получаемой за неделю прибыли равно ст. Указанные компоненты оптимального решения можно проиллюстрировать графически по аналогии с п. 1.

3. В случае, если имеется сверхнормативный запас ресурса в размере 5 кг, жесткость соответствующего ему лимитирующего ограничения также понижается на 5 кг. Элементы столбца умножаются на 5. В модифицированной итоговой таблице (табл. 12.12) показаны изменения значений базисных переменных, связанные с использованием дополнительных 5 кг ресурса

В данном случае возникает новая проблема. Значение остаточной переменной для ресурса 2 становится отрицательным. Это недопустимо, так как по условиям задачи значения переменных должны быть положительными или равными нулю. Если обратиться к графическому решению задачи, легко можно понять, почему так происходит. Жесткость ограничения снижается настолько, что оно перестает быть лимитирующим. В симплекс-таблицу вводится точка, не принадлежащая допустимому множеству. Это означает, что дополнительное привлечение всех 5 кг ресурса невозможно. Данная проблема рассматривается в

Таблица 12.12. Модифицированные элементы итоговой симплекс-таблицы (в условиях наличия кг дополнительно) (см. скан)

4. Ограничение представлено в итоговой таблице столбцом Единственным отрицательным значением в столбце является итоговое значение переменной равное -2. При снижении жесткости ограничения на единицу значение снижается на 2 единицы, но оно не может стать отрицательным. Лимитирующее положение линии ограничения на возникает, когда достигает нуля. Предположим, лимитирующее положение достигается при снижении жесткости ограничения на на кг, тогда примет значение, равное нулю, следовательно,

Таким образом, кг. До того как ограничение перестанет быть лимитирующим, его жесткость может быть снижена на 4 кг, с 20 до 24 кг. Граничного положения линия данного ограничения достигает при прохождении через точку пересечения ограничений для которой а линия ограничения имеет вид:

(кликните для просмотра скана)

5. Если количество ресурса имеющееся в распоряжении производителя, уменьшается на 2 кг, жесткость лимитирующего ограничения возрастает на 2 кг. Значения элементов столбца умножаются на 2. Полученные значения вычитаются из соответствующих значений базисных переменных. Полученная в результате описанной процедуры итоговая таблица представлена ниже.

Таблица 12.13. Модифицированные элементы итоговой симплекс-таблицы (в условиях уменьшения запаса на 2 кг) (см. скан)

Новое оптимальное решение состоит в выпуске 8 и 11 единиц продуктов X и Y в неделю соответственно. Остаточная переменная ограничения 2 равна 6 кг.

Рис. 12.27. Задача линейного программирования для производства продуктов в неделю (в условиях снижения запаса ресурса на 2 кг)

Остаточные переменные, соответствующие ограничениям 1 и 3, принимают нулевые значения. Это значит, что данные ограничения являются лимитирующими. Максимальное значение прибыли за неделю равно 28,33 ф. ст. На рис. 12.27 представлено графическое решение данного варианта задачи.

Проведение подобного анализа вручную довольно утомительно, даже если симплекс-метод используется для решения простейшей задачи линейного программирования с двумя переменными. Обычно всю необходимую информацию можно почерпнуть из стандартных пакетов прикладных программ по линейному программированию. На практике анализ чувствительности многомерных задач осуществляется именно таким путем. Однако основные принципы подобного анализа полностью совпадают с принципами анализа чувствительности задачи линейного программирования с двумя переменными, изложенными выше.