2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля.

Пусть — дифференцируемое в области D векторное поле. Тогда согласно где А — линейный оператор, зависящий от точки М, вектор — приращение аргумента — вектор, стремящийся к нулю при

Определение 1. Дивергенцией векторного поля в точке М называется дивергенция линейного оператора А из условия дифференцируемости (6.19):

Определение 2. Ротором векторного поля в точке М называется ротор линейного оператора А из условия дифференцируемости (6.19):

Заметим, что поскольку векторное поле дифференцируемо во всей области D, то определены в каждой точке М области Эти величины по своему определению инвариантны, т. е. не зависят от выбора базиса. Поэтому представляет собой скалярное поле, — векторное поле.

Выберем ортонормированный базис к и свяжем с ним декартову прямоугольную систему координат Пусть координаты поля в базисе к есть Матрица оператора А в этом базисе нами уже найдена (см. формулу (6.22)). Поскольку по формуле (6.14) сразу получаем

где

Далее, так как , то по формулам (6.15) и (6.22) получим

Написанный определитель — символическая запись ротора, удобная для запоминания.

Вычислим производную векторного поля по направлению воспользовавшись формулой (6.20). Поскольку единичный вектор имеет координаты то

Далее, по формулам (6-21)

Поэтому

Учитывая, что запишем еще одно выражение для производной по направлению: