Главная > Теория обнаружения, оценок и модуляции, Т.3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.1.5. Каноническая реализация № 4S: реализация в переменных состояния

Этот класс представляющих интерес сигнальных процессов был подробно описан в § 6.3 первого тома (см. с. 591—612). Такой процесс описывается уравнением состояния

где изменяющиеся во времени матрицы, и уравнением наблюдения

где модуляционная матрица. Выходной процесс выборочная функция векторного белого шумового процесса с нулевым средним и ковариационной функцией

Начальные условия имеют вид

Из первого тома известно, что реализуемая оценка сигнала по минимуму среднеквадратической ошибки определяется уравнениями

Матрица является ковариационной матрицей ошибки

Она удовлетворяет нелинейному матричному дифференциальному уравнению

Рис. 2.8. Реализация оптимального приемника в переменных состояния (каноническая реализация

Средний квадрат ошибки оценки сигнала равен

Заметим, что есть ковариационная матрица ошибки для вектора состояния, скалярный средний квадрат ошибки оценки сигнала Значения (84) и (85) можно вычислять до приема процесса или одновременно с вычислением

Система, необходимая для формирования показана на рис. 2.8. Уравнение состояния, описывающее получается из (65):

где определяется уравнениями а через обозначено

Важной особенностью этой реализации является то, что здесь не приходится решать интегральные уравнения. Отношение

правдоподобия формируется как выходное напряжение динамической системы. Рассмотрим теперь простой пример, иллюстрирующий применение изложенных выше положений.

Пример. На рис. 2.9 показана гипотетическая система связи, которая иллюстрирует многие из важных особенностей реальных систем, работающих по каналам с замираниями. В гл. 10 будут рассмотрены модели каналов с замираниями и показано, что они являются обобщениями системы, разбираемой здесь в качестве примера. Когда истинна гипотеза передается детерминированный сигнал Когда истинна гипотеза ничего не передается.

Рис. 2.9. Модель простого мультипликативного канала.

Канал оказывает двоякое влияние на передаваемый сигнал. Передаваемый сигнал умножается на выборочную функцию гауссова случайного процесса Во многих случаях этот канальный процесс на интересующих нас интервалах времени будет стационарным. Выходной сигнал мультипликативной части этого канала искажается аддитивным белым гауссовым шумом статистически независимым от Таким образом, принимаемые по двум гипотезам колебания имеют вид:

Предполагается, что канальный процесс имеет следующее представление в переменных состояния:

где удовлетворяет (78) и

Сигнальный процесс при гипотезе записывается в виде

Заметим, что если функция не постоянна на интервале то процесс будет нестационарным даже при условии, что процесс является стационарным. Очевидно, что процесс имеет такое же уравнение состояния, как и процесс В результате объединения (90) и (91) получим уравнение наблюдения в форме

Видим, что передаваемый сигнал появляется только в модуляционной матрице

Поучительно вычертить структурную схему приемника для

простого случая, когда процесс имеет одномерное уравнение состояния с постоянными коэффициентами. Пусть

Тогда (82)-(85) сводятся к виду

Получающаяся в результате структурная схема приемника показана на рис. 2.10.

С другими примерами канонической реализации мы будем встречаться по ходу дальнейшего изложения материала. Прежде чем закончить рассмотрение этой реализации и перейти к другому вопросу, целесообразно сделать некоторые замечания по формированию т. е. компоненты отношения правдоподобия, появляющейся из-за существования среднего значения сигнального процесса. Если этот процесс имеет конечное представление в переменных состояния, то обычно бывает проще формировать используя оптимальный реализуемый фильтр. Процедура вывода здесь аналогична процедуре вывода (54)-(66). Из (22) и (26)-(28) имеем

Как и прежде,

Получающаяся в результате структурная схема показана на рис. 2.11. Выход нижней ветви является детерминированной функцией, которую обозначим через

Так как не зависит от ее можно формировать до приема какой-либо информации. Из (104) следуют две эквивалентные реализации, показанные на рис. 2.12.

Рис. 2.10. Реализация оптимального приемника, формирующего в форме системы с обратной связью.

Заметим, что (101) (и, следовательно, рис. 2.11 и 2.12) не требует, чтобы процессы допускали представление в переменных состояния. Если процессы имеют конечное представление в переменных состояния, то оптимальный реализуемый линейный фильтр можно легко синтезировать, используя метод переменных состояния. Используя представление в переменных состояния в получим реализацию, изображенную на рис. Заметим, что вектор состояния на рис. 2.13, а не так как процесс имеет ненулевое среднее; этот вектор обозначим через

(кликните для просмотра скана)

Структурную схему рис. 2.13, а можно упростить, как показано на рис. 2.13, б. Компоненту можно также записать в канонической форме представления в переменных состояния:

где определено на рис. -уравнением (84).

Сопоставляя выражения (32) и (34), можно заметить, что их структура тождественна. Следовательно, можно генерировать (формировать) путем возбуждения динамической системы, описываемой (105), процессом вместо процесса

Следует подчеркнуть, что наличие ненулевого в соответствии с (86) не влияет на генерацию компоненты Единственное различие заключается в том, что более не являются оценками по критерию наименьшей среднеквадратичной ошибки и поэтому мы их обозначаем через соответственно. Полная система уравнений для случая ненулевого среднего будет:

при начальных условиях

Матрица определяется дифференциальным уравнением (84). Смещения описываются выражением (73) и модифицированным вариантом (105).

На этом завершается рассмотрение реализаций (в переменных состояния) оптимального приемника для обнаружения и оценки гауссовых сигналов на фоне белого гауссова шума. Особое внимание было обращено на структурные схемы, основанные на реализуемых алгоритмах оценки. Можно также развить и другой подход, основанный на нереализуемых алгоритмах оценки (см. задачу I-6.6.4 и 2.1.4).

Прежде чем приступить к анализу помехоустойчивости оптимального приемника, подведем краткие итоги по результатам рассмотрения различных структурных схем приемника.

1
Оглавление
email@scask.ru