3.4. Частные случаи

В этом параграфе мы рассмотрим четыре частных случая, которые возникают на практике:

1. Бинарная симметричная задача.

2. Задача с ненулевым средним.

3. Задача со стационарным независимым полосовым процессом.

4. Бинарная симметричная задача с полосовым процессом. Определим каждую из этих задач подробно в соответствующих подпараграфах.

3.4.1. Бинарный симметричный случай

В этой задаче принятые по двум гипотезам колебания записываются в виде

Предполагается, что сигнальные процессы имеют тождественные собственные значения и что их собственные функции не перекрываются. В случае стационарных процессов это имеет простую интерпретацию, иллюстрируемую спектрами на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Неперекрывающиеся процессы (спектр симметричен относительно показаны только положительные частоты).

Два иллюстрируемых здесь процесса имеют спектры, являющиеся практически неперекрывающимися по частоте и тождественными, если не считать частотного сдвига. Аддитивный шум это белый шум со спектральной плотностью Такие задачи часто встречаются в области бинарных систем связи по каналу с замираниями и являются всего лишь вариантом случая 2 на с. 121 первого тома. Физический канал более подробно будет рассмотрен в гл. 11, где и будет показано, как вводится эта математическая модель. Здесь структурная схема приемника просто частный случай рис. 3.3. Формулу для можно получить из (60), если учесть следующие замечания (подстрочный индекс означает «бинарный симметричный»).

1. Наименьшая среднеквадратическая ошибка фильтрации зависит только от собственных значений процесса. Следовательно,

2. Если два процесса не имеют общих собственных функций, то наименьший средний квадрат ошибки фильтрации их суммы равен сумме наименьших средних квадратов ошибок фильтрации отдельных процессов. Следовательно,

С учетом (62) и (63) имеем

Это выражение можно переписать в различных формах. Обратившись к выражению (2.139) для в случае простой бинарной задачи, видим, что (64) можно записать как

где подстрочный индекс означает «простая бинарная», и на основании (2.139) имеем

Из (65) очевидно, что симметрично относительно Вторая форма записи которая часто бывает удобной, имеет вид

Бинарная симметричная модель часто встречается при рассмотрении систем связи. В большинстве случаев априорные вероятности по двум гипотезам равны

и критерием оптимальности является наименьшая суммарная вероятность ошибок

При этих условиях порог равен нулю. Все выведенные ранее выражения для границ качества (помехоустойчивости) требуют нахождения значения при котором

В этом случае нам необходимо знать при котором

Ввиду симметрии очевидно, что

Таким образом, важной величиной является Из (65) находим

Согласно (66) имеем

Используя получим границу вероятности ошибок:

Чтобы получить приближенное выражение для суммарной вероятности ошибок, поступим так, как при определении (2.164) и (2.173). Одночленное приближение имеет вид

Когда аргумент функции больше двух, (76) можно аппроксимировать в виде

Как и прежде, коэффициент в (77) часто бывает необходим для получения хорошей оценки вероятности ошибок На с. 100 мы вернемся к этой задаче и исследуем точность аппроксимации (77) более подробно.

Уместно сделать два замечания.

1. На основании (2.72) и (2.74) выражение для можно записать через определители Фредгольма. Используя эти выражения, имеем

2. Отрицательная величина некоторыми авторами использовалась как критерий для суждения о качестве испытания. Впервые этот критерий, по-видимому, был введен Хеллингером [3] в 1909 г. Его часто называют расстоянием Баттачария [4]. Другое название, употребляемое не столь часто, — расстояние Какутани [5]. Важно

заметить, что значение определяется как симметрией задачи, так и выбором порога. Если любой из этих элементов изменяется, то при некотором будет обеспечивать лучшую меру качества. Нетрудно привести случаи, когда упорядочение критериев (испытаний) по значению их или синтез сигналов с целью минимизации дают неправильные результаты из-за того, что модель асимметрична.

Формулы, выведенные в этом параграфе, существенны при анализе бинарных симметричных систем связи. В гл. 5 будут выведены соответствующие формулы для многопозиционных (многоальтернативных) систем. Перейдем теперь к следующему интересующему нас вопросу — влиянию ненулевых средних.

3.4.2. Ненулевые средние

При рассмотрении общей бинарной задачи мы исходили из предположения, что процессы по обеим гипотезам имеют нулевые средние. В этом подпараграфе рассмотрим класс задач типа и покажем, как ненулевые средние влияют на структуру оптимального приемника и качество системы. Принятые колебания по обеим гипотезам записываются в виде

где

Ковариационные функции процессов равны соответственно. Аддитивный белый гауссов шум имеет нулевое среднее и спектральную плотность и независим от сигнальных процессов. Как и в простой бинарной задаче, необходимо получить выражения для и Полезно вспомнить определения этих величин в форме (2.32) и (2.147). Ввиду сходства данной задачи с простой бинарной как по выводу, так и по результатам, мы просто приведем здесь готовые ответы, оставив их вывод в качестве упражнения (см. задачу 3.4.1).

Модифицировав (23), получим

Выражение (23) можно записать как

где

Функции также можно определить в неявном виде через соотношения

Получаемый в результате критерий имеет вид

где определяется соотношениями (23) или (32), а у — порог, который включает члены смещения. Другое выражение для критерия, получаемого в задаче 3.4.1, имеет вид

где удовлетворяет уравнению

удовлетворяет (33). Преимущество формы записи (90) в том, что она требует решения двух, а не трех интегральных уравнений.

Вывод формулы для более сложен (см. задачу 3.4.2). Введем в рассмотрение функцию определяемую как

и составной сигнальный процесс

ковариационную функцию которого обозначим через В (93) предполагается, что статистически независимые лроцессы. Поэтому

Этот процесс встречался нам ранее (см. Наконец, определим в неявном виде функцию посредством интегрального уравнения

Тогда можно показать, что

Чтобы получить выражение для для всей задачи, прибавим к значение из выражения для (обозначаемое через и определенное по формуле . В результате получим

Формулами (84), (90) и (96) определяется задача с ненулевыми средними. Некоторые типичные примеры разобраны в задачах вне основного текста.

3.4.3. Задачи со стационарными полосовыми процессами, симметричными относительно несущей

Многие из процессов, встречающихся на практике, являются полосовыми процессами, спектр которых симметричен относительно несущей частоты. В гл. 11 этот класс задач будет исследован подробно. Здесь рассматривается частный класс задач с полосовыми процессами, который легко можно связать с соответствующей задачей, относящейся к процессам со спектром нижних частот. Мы вводим этот частный класс на данном этапе изложения ввиду того, что подобные задачи часто встречаются на практике. Разбор их будет хорошим примером при обсуждении некоторых методов решения в гл. 4. Принятые колебания по двум гипотезам записываются в виде

Сигналы представляют собой отрезки выборочных функций стационарного гауссова процесса с нулевыми средними и с

узкополосными спектрами, симметричными относительно несущих частот, соответственно равных Указанные спектры практически не перекрываются, как это показано на рис. 3.8, Данная задача отличается от задачи, рассмотренной в тем, что в ней мы не требуем, чтобы соответствующие два процесса имели одинаковые собственные значения.

Для определения структуры оптимального приемника умножим процесс на четыре несущие, показанные на рис. 3.9, и пропустим полученные в результате выходные процессы через идеальные фильтры нижних частот.

Рис. 3.8. Неперекрывающиеся полосовые спектры.

Эти фильтры нижних частот пропускают транспонированные по частоте копии процессов без искажений. Теперь для использования в испытании отношения правдоподобия мы имеем четыре колебания двум гипотезам:

Ввиду предполагаемой симметрии спектров все указанные процессы являются статистически независимыми (см., например, Процессы имеют тождественные] спектры, которые мы обозначим через Это просто компонента нижних частот от полосового спектра после того, как он был сдвинут к началу координат. Аналогично процессы также имеют тождественные спектры, которые мы обозначим через . С учетом статистической независимости процессов критерий отношения правдоподобия можно записать в результате простого анализа без каких-либо

выкладок. По аналогии с (30) критерий отношения правдоподобия имеет вид

где определения различных слагаемых совпадают с (27) и (29). Вариант оптимального приемника в форме фильтра-квадратора показан на рис. 3.10. (Заметим, что ) В большинстве случаев фильтры перед квадратором — это фильтры нижних частот, поэтому идеальные фильтры нижних частот на рис. 3.9 можно исключить.

Рис. 3.9. Генерация колебаний (процессов) нижних частот.

В гл. 11 получена более эффективная реализация оптимального приемника с использованием полосовых фильтров и квадратичных детекторов огибающей.

Для оценки качества заметим, что синусоидальные компоненты обеспечивают точно такое же количество информации, как и косинусоидальные компоненты. Поэтому следует ожидать, что

где подстрочный индекс означает задачу с реальными полосовыми процессами, задачу с входными процессами Заметим, что мощность (или энергия) в задаче с процессами нижних частот равна половине мощности или энергии в задаче с полосовыми процессами:

Нетрудно убедиться, что (101) - (103) - правильные результаты (см. задачу 3.4.8). Поскольку полосовой процесс генерирует два статистически независимых процесса нижних частот, можно показать, что собственные значения полосового процесса существуют парами.

Важный вывод состоит в том, что для этого частного класса задач с полосовыми процессами существует эквивалентная задача с процессами нижних частот, которую можно получить простым изменением масштаба. Напомним, что в этом параграфе были сделаны три предположения:

Рис. 3.10. Оптимальная обработка процессов нижних частот.

1. Сигнальные процессы стационарны.

2. Сигнальные спектры по двум гипотезам практически не перекрываются.

3. Сигнальные спектры симметричны относительно соответствующих несущих частот.

Позднее будут рассмотрены асимметричные спектры и нестационарные процессы. В таких случаях переход к задаче с процессами нижних частот сложнее и требуется более эффективная система записи.

3.4.4. Вероятность ошибки для бинарной симметричной полосовой задачи

В этом подпараграфе рассмотрим бинарную задачу с полосовыми процессами, имеющими симметричные спектры. Модель для этой задачи удовлетворяет допущениям, сделанным в пп. 3.4.1, 3.4.3. Выведем выражения для точных верхней и нижней границ вероятности ошибки

Так как исходно предполагаются равновероятные гипотезы И критерий наименьшей полной (суммарной) вероятности ошибок, можно записать

Заметим, что — комплексная переменная

Изменив порядок интегрирования и вычислив выражение под внешним интегралом, получим

Для данной конкретной задачи выражение для следует непосредственно из (57) и (67):

Заметим, что Мы использовали (101) для исключения аргумента 1/2 в формуле для Как было указано ранее, это объясняется тем, что в полосовой задаче собственные значения появляются парами. На основании (107) имеем

Таким образом,

Формула (109) впервые получена Туриным [7]. Пирс 16], исходя из (109), вывел выражения для точных верхней и нижней границ вероятности ошибки Поскольку выполненный им вывод вполне доступен читателям, мы его опускаем и просто приводим окончательный результат. (Простой вывод при использовании таких же, как у нас, обозначений проделан в Можно показать, что

Нижнюю границу можно еще более ослабить:

Полученное выражение совпадает с формулой Пирса. Заметим, что верхняя и нижняя границы различаются не более чем в раз. Из (76) видно, что приближение первого порядка к совпадает с нижней границей в (110). Следовательно, в бинарном симметричном полосовом случае выведенное нами выражение для вероятности ошибки всегда дает результат, отличающийся от точного значения не более чем в раз. Заметим, что наш результат получен в предположении, что спектры процессов симметричны относительно соответствующих несущих частот. Формулы (110) и (111) справедливы также и для несимметричных спектров. Это будет доказано в гл. 11.

Мы не смогли распространить вывод Пирса на несимметричный случай, чтобы получить границы Однако несколько конкретных примеров свидетельствуют о том, что наши приближенные выражения для ошибки дают точные результаты.

В этом подпараграфе были исследованы четыре частные модели гауссовой задачи. В следующем параграфе мы вернемся к общей задаче и рассмотрим, как влияет на результаты снятие предположения о белом шуме.