7.4. Случай когерентности сигналов малой энергии

В § 4.3 при изложении теории обнаружения было показано, что если наибольшее собственное значение меньше величины то можно получить итеративное решение для импульсной переходной функции Точно по такому же пути можно идти при решении задачи оценки. Единственное различие состоит в том, что наибольшее значение может зависеть от . В соответствии с (6.16) имеем

Считая, что

при любом значении каждый член в суммах выражения (131) можно разложить в сходящийся степенной ряд по степеням . В результате получим

В случае когерентности сигналов малой энергии

при любых значениях Когда это неравенство соблюдается, приближенную функцию правдоподобия можно получить, удержав первый член и среднее значение второго члена ряда (133) и первые два члена ряда (134) (см. выкладки на с. 156, 157). В итоге получим

Чтобы найти необходимо образовать функцию правдоподобия как функцию параметра и выбрать значение параметра при котором она имеет максимум.

Нижняя граница дисперсии любой несмещенной оценки определяется выражением

Если является значением случайного параметра, то оценку по максимуму апостериорной вероятности можно получить путем добавления к выражению (136) и определения максимума результирующей функции. Для иллюстрации упрощенной задачи, когда выполняется условие КСМЭ, рассмотрим два простых примера.

Пример . В этом примере требуется оценить амплитуду корреляционной функции случайного процесса:

где известная ковариационная функция. Предположив, что условие КСМЭ соблюдается, можно согласно (136) получить

Дифференцируя и приравнивая результат нулю, получим

Как и прежде,

Можно определить верхнюю границу смещения оценки используя методы, описанные на с. 225—228. Нижняя граница дисперсии любой несмещенной оценки имеет вид

Нетрудно заметить, что правая часть выражения (142) — величина, обратная в задаче когерентного обнаружения сигнала малой энергии (см. (4.148)). Такой результат можно было ожидать, если учесть результаты по оценке амплитуды в случае известного сигнала, полученные в гл. 4 первого тома.

Во всех приведенных выше примерах рассматривались задачи оценки неслучайных параметров. Было отмечено, что для учета случайных параметров требуется несложная модификация полученных результатов. Пример такой модификации дан ниже.

Пример 7. Предположим, что ковариационная функция принимаемого сигнала определяется выражением (138). Будем рассматривать параметр А как значение случайной величины а. В общем случае плотность вероятности параметра неизвестна и поэтому выберем распределение с несколькими свободными параметрами. Затем изменим эти параметры так, чтобы было хорошее согласование с имеющимися экспериментальными данными. Как было отмечено на с. 148 первого тома, часто для простоты выкладок в качестве априорной плотности распределения вероятности выбирается воспроизводящая плотность. Для данного примера подходящей априорной плотностью является гамма-распределение

где X — положительный коэффициент, положительное целое число, которые выбираются на основе имеющейся априорной информации относительно случайной величины а. Далее будем считать, что и X известны. Требуется найти Для этого образуем функцию

и отыщем ее максимум. С учетом (139) и (143) после группировки членов получим

где

Дифференцируя функцию по А, приравнивая результат нулю и решая получающееся квадратное уравнение, получим

Вторая производная функции всегда отрицательна и поэтому искомый максимум является единственным. Структурная схема соответствующего приемника показана на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Реализация устройства оценки амплитуды по максимуму апостериорной вероятности в случае КСМЭ.

Видим, что этот приемник осуществляет две последовательные операции. Первая секция приемника вычисляет

Квадратичная операция встречалась нам ранее. Вторая секция приемника представляет собой нелинейное безынерционное устройство, которое реализует операции (147) и (148). Определение помехоустойчивости этого приемника затруднительно из-за нелинейной безынерционной операции, не являющейся квадратичной.

Ряд других примеров оценки параметров в случаях, когда соблюдаются условия КСМЭ, приводится в разделе задач. Этим завершается рассмотрение специальных категорий задач, связанных с оценкой параметров. В следующем параграфе обсудим некоторые родственные вопросы.