Приложение. Комплексное представление полосовых сигналов, систем и процессов

В Приложении изложим основные положения представления в комплексной форме узкополосных сигналов, систем и случайных процессов. Идея представления реального сигнала в виде действительной (вещественной) части комплексного сигнала хорошо известна большинству инженеров в области электро- и радиотехники. В частности, сигнал

и соответствующая векторная диаграмма (рис. встречаются во многих вводных курсах по теории цепей. Реальный сигнал есть просто проекция комплексного сигнала на действительную (горизонтальную) ось. Изложенные в этом Приложении представления являются обобщениями этой хорошо известной формы записи.

Рис. П.1. Векторная диаграмма комплексного сигнала.

В § П.1 рассмотрены полосовые детерминированные сигналы, в § П.2 - полосовые линейные системы, в § П.3 - полосовые случайные процессы. В § П.4 подытожены основные результаты, полученные в первых трех параграфах.

Параграф содержит некоторые задачи на применение рассмотренных представлений.

Материал первых параграфов до включительно имеет довольно стандартный характер (см., например, [1-8]), и читатели, которые хорошо знакомы с комплексным представлением, могут бегло прочитать эти параграфы с тем, чтобы узнать нашу систему записи. Материал менее известен, но тем не менее не является новым. Материал оригинален [9] и, вероятно, незнаком большинству читателей. За исключением результаты Приложения необходимы для понимания материала гл. 9—14.

П.1. Детерминированные сигналы

В этом параграфе рассмотрим детерминированные сигналы с конечной энергией. Обозначим сигнал через а его преобразование Фурье — через

Для простоты предположим, что имеет конечную энергию. Типичный сигнал может иметь преобразование Фурье, представленное на рис. П.2.

Рис. П.2. Преобразование Фурье полосового сигнала.

Видим, что спектр частот преобразования Фурье ограничен полосой [Гц] относительно частоты несущего колебания. На практике строго ограниченные по ширине спектра сигналы встречаются очень редко. Однако, если энергия сигнала вне основной полосы его спектра ничтожно мала, то ею обычно пренебрегают. Сигнал, ширина спектра которого практически ограничена некоторой полосой по обе стороны от несущей, называют полосовым сигналом. Обычно ширина такой полосы мала по сравнению с частотой и поэтому подобный сигнал называют также узкополосным сигналом. В точной формулировке соотношения между шириной спектра и частотой несущего колебания, при котором сигнал можно считать узкополосным, в рамках настоящего рассмотрения нет необходимости.

Обычно принято представлять такой сигнал в виде двух низко частотных квадратурных (ортогональных) составляющих

Символом обозначается операция пропускания аргумента через идеальный фильтр нижних частот с единичным коэффициентом передачи. Колебания нижних частот можно генерировать так, как показано на рис. П.3.

Рис. П.3. Структурная схема формирования квадратурных составляющих и восстановления полосового сигнала.

Передаточная функция идеального фильтра нижних частот представлена на рис. Если квадратурные составляющие заданы, то колебание можно восстановить путем их умножения соответственно на и и сложения результатов по схеме, показанной на рис. справа от штриховой линии. Итак,

Рис. П.4. Передаточная функция идеального фильтра нижних частот.

В справедливости выражения можно убедиться, используя преобразование Фурье для его левой и правой части. Однако гораздо легче убедиться в том, что вся система, изображенная на рис. эквивалентна идеальному полосовому фильтру, передаточная функция которого показана на рис. П.5 [10]. Для этого представим себе, что на вход системы подан импульс, и вычислим сигнал на ее выходе. Обозначим выходной сигнал, обусловленный импульсом, приложенным в момент времени через

Передаточная функция является преобразованием Фурье импульсной переходной функции:

Рис. П.5. Передаточная функция полной системы рис. П.3.

Правая часть есть не что иное, как передаточная функция, показанная на рис. П.5, в чем и требовалось удостовериться. Следовательно, система, изображенная на рис. есть просто идеальный полосовой фильтр, и любой поданный на ее вход сигнал с ограниченным по ширине спектром пройдет через нее без искажений. Тем самым подтверждается, что данное представление верно. Заметим, что из предположения о том, что сигнал имеет единичную энергию, следует, что

Указанные квадратурные составляющие нижних частот можно представить в более компактной форме, если ввести в рассмотрение так называемый комплексный сигнал, определяемый как

что эквивалентно

где

Отметим, что комплексный сигнал можно также записать в виде

Рис. П.6. Типичные формы огибающих сигналов: а — огибающая прямоугольной формы, постоянная фаза; б - огибающая прямоугольной формы, двоичная фазовая манипуляция; в — гауссова огибающая, линейная частотная модуляция.

Реальный (действительный или вещественный) полосовой сигнал

Некоторые типичные сигналы представлены на рис. П.6. Заметим, что сигналы, огибающие которых изображены на рис. П.6, а-в, не являются строго ограниченными по ширине спектра, но у них энергия спектра вне пределов определенной полосы частот пренебрежимо мала. Из видно, что есть действительная огибающая узкополосного сигнала, а его мгновенная фаза. Функцию обычно называют комплексной огибающей.

Полезность комплексного представления будет становиться очевиднее по мере дальнейшего изложения материала. Мы придем

к заключению, что интересующие нас соотношения можно вывести и вычислить гораздо проще, если оперировать понятием комплексной огибающей.

Существует несколько свойств и определений, которые будут полезными в последующем. Во всех этих свойствах легко убедиться.

Свойство 1. Поскольку энергия передаваемого сигнала равна единице, из следует, что

Свойство 2. Среднее значение частоты огибающей определяется как первый момент энергетического спектра комплексной огибающей:

где

— преобразование Фурье от

В рассматриваемой модели реальный сигнал фиксирован и равен Комплексная огибающая зависит от того, какую частоту принять за несущую. Так как мы вольны в выборе несущей частоты, ее всегда можно выбрать так, чтобы

(см. задачу П.1.1). Позднее выяснится, что при выборе несущей частоты приходится учитывать и другие соображения, так что соотношение применимо не во всех случаях.

Свойство 3. Средняя длительность огибающей определяется как первый момент квадрата модуля комплексной огибающей:

Поскольку начало отсчета времени произвольно, его всегда можно выбрать так, чтобы

Предположение и в некоторых случаях приводят к упрощению алгебраических выкладок.

Свойство 4. Существует ряд квадратичных величин, которые полезны при описании сигнала. Первые две имеют вид

Последняя величина называется средним квадратом полосы (сред-ним квадратом ширины спектра) сигнала. Она является приближенной мерой частотной протяженности сигнала.

Аналогично можно определить

Последняя величина называется средним квадратом длительности и является приближенной мерой временной протяженности сигнала.

В заключение дадим определения еще двух величин:

Эти определения менее очевидны. Позднее будет показано, что величина является мерой частотной модуляции сигнала

Соотношения (21)-(23) можно выразить по-другому, используя свойства преобразования Фурье (см. задачу П. 1.2). В разделе задач рассматриваются также другие полезные интерпретации.

Свойство 5. Рассмотрим два полосовых сигнала единичной энергии Коэффициент корреляции между ними

Представим теперь эти два сигнала через их комплексные огибающие и одну и ту же несущую частоту

Комплексный коэффициент корреляции определяется как

Тогда

Чтобы убедиться в этом, достаточно написать через комплексные огибающие, выполнить интегрирование и заметить, что членами с удвоенной частотой можно пренебречь.

На этом завершается рассмотрение комплексной огибающей детерминированного полосового сигнала. Рассмотрим теперь полосовые системы.