7.2. Процессы с конечным представлением в переменных состояния

До сих пор мы занимались оценкой параметра случайного процесса Статистика этого процесса зависит от параметра А через среднее значение и ковариационную функцию . Для простоты изложения предположим, что Вместо задания процесса ковариационной функцией его можно описать дифференциальными уравнениями

где

Полезно сделать два замечания.

1. В общем случае параметр А может появляться в функциях Заметим, что в рассматриваемой задаче оценки имеется только один параметр. В большинстве интересующих нас задач лишь одна или две из перечисленных функций будут зависеть от А.

2. При рассмотрении модели задачи в § 6.1 предполагалось, что процесс является условно гауссовым. Поэтому линейное уравнение состояния (107) будет вполне общим, если процесс можно представить в переменных состояния. Используя методы, описанные в гл. 7 второго тома, можно исследовать задачу оценки параметра в случае марковских негауссовых процессов, но это выходит за пределы данного обсуждения.

В случае, когда среднее значение наблюдаемого процесса равно нулю, функция правдоподобия имеет вид

Согласно выражению (6.32) имеем

а в соответствии с (6.25) второй член в (112) равен

Функция является реализуемой оценкой процесса по минимуму среднего квадрата ошибки в предположении, что параметр А известен. Из гл. 6 первого тома известно, что она определяется дифференциальными уравнениями

при соответствующих начальных условиях. Функция это наименьший средний квадрат ошибки при оценивании процесса в предположении, что параметр А известен. Почти во всех случаях необходимо образовать функцию правдоподобия для множества значений параметра которое перекрывает допустимый интервал его изменения, и выбрать такое значение, при котором значение является наибольшим. Структурная схема устройства, реализующего такую процедуру обработки, показана на рис. 7.9.

Чтобы найти границу дисперсии любой несмещенной оценки, используем граничное выражение (6.44), а также (6.46) и (6.60). В случае процессов, имеющих конечное представление в переменных состояния, форма выражения (6.60) довольно проста:

Выражение для ошибки из подынтегрального выражения во втором члене следует из уравнения (116) в виде

Чтобы вычислить выражение для ошибки из первого члена, необходимо провести аналогичный анализ для данного составного процесса. Заметим, что этот составной процесс явлется суммой двух статистически независимых процессов с различными значениями параметра А. Как и в аналогичной задаче теории обнаружения, в данном случае имеется альтернативная форма для которую иногда проще вычислять (см. с. 205—207).

Рис. 7.9. Формирование функции правдоподобия для процессов с конечным представлением в переменных состояния.

Подробности этой процедуры оставляем для самостоятельной проработки (задача 7.2.1).

Ряд примеров по оцениванию параметра процесса, представляемого в переменных состояния, изложены в разделе задач. Перейдем теперь к рассмотрению процессов с разложимыми ядрами.