10.2.2. Глобальная точность (или неопределенность)

В этом параграфе исследуем точность системы в том случае, когда ошибки необязательно малы.

Приближенный анализ точности системы можно произвести таким же методом, какой использовался при исследовании явления порога ЧМ в первом томе . Идея метода довольно проста. Предполагается, что область плоскости которую необходимо учитывать при анализе глобальной точности оценок, имеет форму прямоугольника со сторонами Разобьем эту область на прямоугольные ячейки, как показано на рис. 10.17.

Рис. 10.17. Область плоскости в которой могут присутствовать цели.

Рис. 10.18. Ячейка плоскости

Размеры ячейки пропорциональны размерам центрального пика функции неопределенности сигнала. Будем пользоваться при разбиении области сеткой с размерами ячейки

где

Такая ячейка изображена на рис. 10.18. Заметим, что если имеет существенное значение (например, в случае ЛЧМ сигнала), было бы логичным разбиение области на ячейки в форме параллелограмма. Здесь для простоты предполагается, что равно нулю.

Принимаемый сигнал обрабатывается в два этапа. Сначала принимается решение, в каких ячейках имеется сигнал. Затем производится локализация (местоопределение) сигнала в пределах избранной ячейки. Поэтому в процессе обработки возникают ошибки

двух родов: ошибки решения — из-за неправильного выбора ячейки и локальные ошибки в пределах ячейки. Локальные ошибки были рассмотрены в предыдущем параграфе. Приступим теперь к анализу ошибок решения.

Для анализа ошибок предположим, что сигнал находится в центре одной из ячеек. Обозначим координаты средней точки ячейки через Предполагается, что априорные вероятности нахождения сигнала в любой ячейке равны. Таким образом, ситуация сводится к многоальтернативной задаче на проверку гипотез, где

Испытание по критерию отношения правдоподобия состоит в вычислении величин

и выборе наибольшей из них. Для анализа точности необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1. Функция неопределенности сигнала имеет центральный пик и не имеет побочных пиков. Выходной сигнал во всех неправильно выбранных ячейках пренебрежимо мал.

Случай 2. Функция неопределенности сигнала имеет побочные пики, амплитудами которых пренебречь нельзя.

Сначала проанализируем первый из этих случаев. Анализ второго случая проведем кратко и в общих чертах. Первый случай соответствует передаче одного из ортогональных сигналов по релеевскому каналу. Вероятность ошибки для этого случая была определена в задаче 4.4.24 первого тома.

Для анализа данного случая удобнее всего использовать приближенную формулу, выводимую в рамках задачи 4.4.25 первого тома:

Как и в примере 2 (с. 325 первого тома), можно вычислить средний квадрат ошибки при условии, что имеется интервальная ошибка:

В (106а) не учитываются ошибки решения, которые не приводят к ошибке по дальности (т. е. ошибки, связанные с ситуациями, когда ячейка выбирается по дальности правильно, а по допплеровскому сдвигу — неправильно).

Ограничимся теперь рассмотрением только ошибки оценивания дальности. Чтобы определить полную дисперсию оценки, мсбкно скомбинировать различные результаты:

Единственным не вычисленным пока членом здесь является член нет ошибки решения). Для этого члена можно получить хорошее приближение, но оно слишком сложно для данного краткого рассмотрения. Здесь достаточно заметить, что первый член является неотрицательным, и поэтому нормированную ошибку можно ограничить, используя только второй член. В результате имеем:

Из п. 10.2.1 известно, что дисперсию можно также ограничить, используя границу Крамера — Рао. При больших значениях отношения нормированную границу Крамера — Рао можно приближенно записать в форме

Сравнивая (1076) и (107в), видим, что правые части обоих выражений имеют одинаковую зависимость от Однако для представляющих интерес значений параметров правая часть (1076) всегда значительно больше, чем правая часть (107в). Поэтому можно сделать вывод, что для одиночного излученного импульса и релеевской модели цели вероятность ошибки решения в результирующей ошибке является доминирующей и дисперсия, указываемая границей Крамера — Рао, никогда не достижима. Такое поведение ошибки объясняется тем, что при использовании релеевской модели встречаются цели с малыми независимо от того, насколько велико отношение Большие ошибки оценки, связанные с подобными целями, не дают средней ошибке приблизиться к границе.

В п. 10.2.1 было указано, что оценки по максимуму правдоподобия являются асимптотически эффективными, когда число наблюдений (т. е. число излученных импульсов стремится к

бесконечности. Теперь можно обсудить поведение оценок в зависимости от . В случае импульсов вероятность ошибки

(Здесь использованы формулы (I — 2.516) и Если предположить, что нет ошибок решения) можно приближенно заменить правой частью формулы (92), то

На рис. 10.19 графически представлена зависимость величины, обратной нормированной среднеквадратической ошибке, от при различных значениях Как и можно было ожидать, наблюдается четко выраженное явление порога. Ниже порога дисперсия при увеличении возрастает. Увеличение приводит также к смещению пороговой точки в сторону большего значения Заметим, что даже когда отношение равно 10, чтобы вывести рабочую точку системы в надпороговую область, требуется примерно десять импульсов в сигнале.

В заключительной части была упомянута альтернативная модель цели, в которой множитель представлялся как фиксированная величина. Полезно рассмотреть вопрос о глобальной точности для этой модели. Разложением в степенной ряд можно показать, что

где

(см., например, [77]). Подставляя результаты решения задачи 4.4.7 в формулу получаем

Используя (107а), (109) и (110), получаем выражение для нормированной среднеквадратической ошибки. Зависимость величины, обратной нормированной среднеквадратической ошибке, от при различных значениях и представлена графически на рис. 10.20. И в этом случае также наблюдается явление порога. Заметим, что если равно , то для выхода системы в надпороговый режим работы необходимо обеспечить отношение около 40.

Следует отметить, что на рис. 10.19 и 10.20 местоположение пороговой точки зависит от выбранного шага сетки (размеров ячейки). Исследование влияния шага сетки на локальную и глобальную ошибки можно было бы провести, но мы не будем этого делать.

До сих пор рассматривались сигналы, функции неопределенности которых не имеют побочных пиков. Если функция неопределенности имеет побочные пики, то задача на принятие решения соответствует многоальтернативной задаче ( гипотез) теории решений для случая неортогональных сигналов.

Рис. 10.19. Зависимость величины, обратной нормированному среднему квадрату ошибки, от числа импульсов в случае релеевской модели цели.

Рис. 10.20. Зависимость величины, обратной нормированному среднему квадрату ошибки, от отношения в случае модели нефлуктуирующей цели.

Для функции неопределенности конкретного сигнала можно получить приближенные результаты, но даже точные численные результаты мало что добавляют к нашему пониманию общего случая.

Следует указать, что существуют и другие методы, пригодные для исследования задачи глобальной точности. В частности, довольно эффективно использование рассмотренной в первом томе (с. 82, 153 и 328) границы Баранкина (см., например, [78—81]). К числу других работ, посвященных исследованию задачи глобальной точности, относятся статьи [82 и 83].

10.2.3. Заключение

В этом параграфе была исследована точность работы оптимального приемника. Было показано, что локальная точность зависит от формы функции неопределенности в окрестности начала координат. Была исследована также задача глобальной точности (неопределенности). В этом случае точность работы системы зависит от поведения функции на всей плоскости

Итак, было установлено, что как в проблеме точности, так и в проблеме неопределенности (неоднозначности) функции и играют фундаментальную роль. В следующем параграфе выведем некоторые полезные свойства этих функций.