5. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ГАУССОВЫХ СИГНАЛОВ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ

В гл. 2—4 была рассмотрена проблема обнаружения гауссовых сигналов при наличии гауссова шума. В этой главе мы сначала обсудим некоторые родственные вопросы, а затем подведем основные итоги рассмотрения теории обнаружения.

5.1. Родственные вопросы

5.1.1. Многоальтернативное обнаружение гауссовых сигналов в шуме

Главы 2—4 целиком посвящены рассмотрению бинарной задачи обнаружения. В этом параграфе кратко обсудим многоальтернативную задачу с гипотезами. Общая гауссова многоальтернативная задача описывается следующей моделью:

где

Большинство идей из бинарного случая распространяются на многоальтернативный после соответствующих модификаций. В качестве иллюстрации рассмотрим частный случай общей задачи.

Интересующая нас задача описывается следующей моделью. Принимаемые колебания по гипотезам можно записать в виде:

Аддитивный шум описывается выборочной функцией гауссова процесса с нулевым средним значением и ковариационной функцией Наличие члена, соответствующего белому шуму, не обязательно. Сигнальные процессы моделируются выборочными функциями гауссовых процессов, статистически независимыми от

шумового процесса. Сигнальные процессы характеризуются следующими свойствами:

Априорная вероятность гипотезы равна а критерием является минимальная суммарная вероятность ошибок Предполагается, что каждая пара гипотез могла бы привести к невырожденному бинарному испытанию. Процедура синтеза оптимального приемника аналогична процедуре синтеза в бинарном случае, поэтому мы просто сформулируем окончательные результаты. Желающие подробнее разобраться в выводе могут обратиться к работам или к задаче 5.1.1.

Для выполнения испытания по критерию отношения правдоподобия вычислим ряд достаточных статистик, которые обозначим через Первая компонента статистики равна

где функция определяется интегральным уравнением

Вторая компонента статистики равна

где функция определяется интегральным уравнением

Компонента смещения достаточной статистики равна

где собственные значения ядра

Полная статистика равна

Испытание заключается в вычислении

и в выборе наибольшего значения.

Частный случай задачи (4), который часто встречается на практике, соответствует условиям, когда

При этом функция удовлетворяет уравнению

Все канонические реализации, рассмотренные в гл. 2, справедливы и для этого случая. Член, соответствующий смещению, равен

где функция определяется как (2.137).

Вычисление помехоустойчивости в общем многоальтернативном, случае затруднено. Этого можно было ожидать, так как даже при известном сигнале точное вычисление помехоустойчивости в многоальтернативном случае обычно бывает практически неосуществимым.

Одной из важных задач, в которой можно получить точные границы, является задача передачи цифровой информации по релеевскому каналу посредством ортогональных сигналов. Бинарный вариант этой задачи был рассмотрен в примерах 3 и 4 гл. 4 (см. с. 134 — 141). Укажем теперь результаты для многоальтернативной задачи. Переданный сигнал по гипотезе представляется в виде

этот сигнал проходит по флуктуирующему релеевскому каналу Принятое по гипотезе колебание записывается как

Здесь принятый сигнал является выборочной функцией полосового процесса, спектр которого симметричен относительно средней частоты Сигнальные процессы считаются практически неперекрывающимися по частоте. Аддитивный шум моделируется выборочной функцией белого гауссова случайного процесса, имеющего нулевое среднее значение и спектральную плотность Спектры нижних частот у сигнальных процессов одинаковы. Обозначим их через Полная мощность принятого сигнала равна

Кеннеди [4] и Витерби [5] исследовали помехоустойчивость для этого случая. В нашем изложении мы будем следовать работе [5]. Взяв за исходное общий результат, полученный в [6], можно показать, что

где - определитель Фредгольма процесса нижних частот, длительность интервала времени наблюдения, а

— скорость передачи в натуральных единицах информации в секунду. Параметр используется для оптимизации границы. Когда время наблюдения велико, можно использовать (I — 3.182) и получить

Введем теперь в рассмотрение функцию определяемую как

и функцию

Из сравнения (25) и (4.21) следует, что

и, в частности,

С учетом формула (22) приводится к виду

Остается только найти максимум в соответствии с (26). Условия максимизации получаются следующим образом.

1. Если уравнение

имеет решение при которое мы обозначим через то

2. Если уравнение (30) не имеет решения в допустимом интервале изменения то максимум существует при и

Уравнения (31) и (34) дают экспоненциальные множители в формуле для суммарной вероятности ошибок . В разделе задач включен ряд примеров для иллюстрации применения полученных результатов.

На этом завершается краткое рассмотрение многоальтернативной задачи. Для большого класса процессов можно найти оптимальный приемник, но, за исключением ортогональных сигнальных процессов, определить помехоустойчивость обычно бывает затруднительно.