2.2.1. Выражение для m(s) в замкнутой форме

Сначала определим для конечного К. Подставив (18) в (126), получим

Выполнив интегрирование, будем иметь

Из материала, изложенного на с. 30, известно, что первая сумма в правой части (132) имеет хорошее приближение при Сходимость второй суммы легко доказывается:

Теперь вычислим предел (132) при Существование первой суммы обусловлено случайностью сигнальной компоненты поэтому обозначим ее через Существование второй суммы обусловлено детерминированной компонентой процесса поэтому обозначим ее через

Найдем теперь выражения в замкнутой форме для сумм в (134) и (135). Рассмотрим сначала Обе суммы в (134) связаны

с ошибками реализуемой линейной фильтрации. Для иллюстрации этого рассмотрим задачу линейной фильтрации, в которой

где процесс сообщения, имеющий нулевое среднее и ковариационную функцию белый шум со спектральной плотностью Используя результаты гл. 6 первого тома, можно синтезировать линейный фильтр, выходное напряжение которого является точечной оценкой по минимуму среднеквадратической ошибки, и определить получающийся средний квадрат этой ошибки. Обозначим его величину через Причина для такой, казалось бы, громоздкой записи будет очевидна из дальнейшего изложения. Используя (72), средний квадрат ошибки можно записать через сумму собственных значений:

Сравнивая (134) и (137), нетрудно получить требуемый результат:

Итак, чтобы найти необходимо определить среднеквадратическую ошибку для двух задач реализуемой линейной фильтрации. В первой задаче сигнал есть а шум является белым и имеет спектральную плотность Во второй задаче сигнал также шум является белым и имеет спектральную плотность Нетрудно также получить другое выражение для

Уровень шума одинаковый в обоих случаях расчета, но амплитуда сигнального процесса изменяется. Формулы (138) и (139) — первые важнейшие результаты нашего анализа помехоустойчивости. Если сигнальный процесс таков, что можно вычислить среднеквадратическую ошибку реализуемой фильтрации для задачи оценки при наличии белого шума, то всегда можно найти

Далее нам необходимо найти удобное выражение для Чтобы вычислить сумму в (135), вспомним задачу обнаружения известного сигнала на фоне небелого шума, которая была подробно

рассмотрена в § 4.3 первого тома. Принимаемые по двум гипотезам колебания в этом случае записываются в виде

При определенном выборе ковариационной функции процессов можно получить требуемую интерпретацию. Пусть

Тогда из материала гл. 4 первого тома (с. 335) следует, что оптимальный приемник должен осуществлять операцию корреляции процесса с функцией которая удовлетворяет уравнению

Напомним также, что функцию можно записать в явном виде через собственные функции и собственные значения ковариационной функции Записав

подставив в (143) и решив относительно получим

где

Подставив (145) и (146) в (135) и использовав теорему Парсеваля, получим

Нетрудно заметить, что интеграл в (147) есть просто для задачи обнаружения и оценки известного сигнала на фоне небелого шума,

описываемой соотношениями (140) (см. I-4.198). Позднее мы встретимся с несколькими эквивалентными выражениями для

Обозначим предел правой части (132) при через Таким образом,

С учетом (138) и (147) получаем выражение для в замкнутой форме. Оно позволяет вычислить границы Чернова (127) при . В следующем параграфе выведем приближенные выражения для вероятностей ошибок, аналогичные (129) и (130).