13.1.2. Модель цели (канала) с рассеянием по двум параметрам в форме дифференциальных уравнений

В введенной ранее модели цели (канала) с рассеянием по двум параметрам предполагается, что эхо-сигналы от различных элементов дальности статистически независимы. При этом ковариационная функция процесса отражения от цели (флуктуаций параметров канала) имеет вид

Во многих случаях, представляющих интерес, преобразование Фурье функции является рациональной функцией частоты . В этих случаях можно построить модель канала с рассеянием по двум параметрам, описываемую в переменных состояния. Заметим, что из (34) следует, что связь между процессами отражения от цели при различных значениях X отсутствует. Поэтому процесс отражения от цели в любой точке (скажем, можно считать

чайным процессом с единственной независимой переменной При этом оказывается возможным непосредственно применять метод представления процессов в переменных состояния, развитый в п. 6.3.3 первого тома. Новым здесь является то, что уравнения состояния будут содержать X в качестве параметра. Другие особенности выяснятся по ходу изложения.

Поскольку сигнал на выходе канала описывается выражением

удобно ввести в рассмотрение новый процесс, определяемый как

Заметим, что есть комплексный гауссов процесс с нулевым средним значением, ковариационная функция которого равна

Ранее канальный процесс (процесс отражения) моделировался нами как случайный процесс, который зависит от времени и пространства. Теперь требуется представить эту временную зависимость переменными состояния. Пространственную зависимость учтем, сделав это представление функцией пространственной переменной . Представление, которое нам необходимо для описания канала с рассеянием по двум параметрам, учитывает пространственную зависимость непосредственно.

Обозначим вектор состояния процесса через Уравнение состояния имеет вид

где

Ковариационная функция вектора состояния в начале интервала равна

Канальный процесс представляется в виде

Отметим, что в данном рассмотрении связь между различными значениями отсутствует. Уравнение состояния записано как уравнение в частных производных, но фактически оно является

обыкновенным дифференциальным уравнением, содержащим X в качестве параметра. Ввиду этой параметрической зависимости можно легко написать ковариационное уравнение. Введем в рассмотрение ковариационную функцию определяемую в виде

Как и прежде, функцию можно связать с функцией соотношением

где переходная матрица, которая является решением уравнения

с начальным условием

Заметим, что эта переходная матрица имеет единственную независимую переменную времени, так как и не являются функциями времени.

Поскольку предполагалось, что канальный процесс стационарен, функция не зависит от времени. Поэтому можно записать

Матрица есть просто решение уравнения

(см. (I - 6.333а)). Заметим, что предположение о стационарности требует, чтобы

Ковариационную функцию канала получим из (37) с учетом (41) и (42):

И на этот раз подчеркнем, что все полученные результаты являются обычными соотношениями в переменных состояния с параметрической зависимостью от Для завершения описания нашей модели

необходимо описать наблюдаемый сигнальный процесс. С учетом (36) из (35) получим

Используя (41) в (50), имеем

Видим, что (51) содержит интеграл по пространственной переменной Наличие этого пространственного функционала является новой особенностью задачи и требует дальнейшего развития изложенной ранее теории переменных состояния. Заметим, что он является линейным функционалом и аналогичен модуляционной матрице Иногда бывает удобно переписать (51) в виде

На этом завершается рассмотрение модели канала с рассеянием по двум параметрам, описываемой дифференциальными уравнениями. Для иллюстрации применяемых методов рассмотрим пример.

Пример [7]. Рассмотрим комплексное уравнение состояния первого порядка

Эти уравнения соответствуют уравнениям (38) — (41) при

Предположим, что

Из (44) и (45) имеем

а из (47)

Подставляя (60) и (61) в (43), а результат — в (49), получаем ковариационную функцию канала в виде

Ее преобразование дает следующую функцию рассеяния канала:

Заметим, что

Функция рассеяния вида (63), рассматриваемая как функция частоты при любом значении , является однополюсным спектром с центральной частотой пиковым значением и шириной на уровне относительно центральной частоты.

Рис. 13.6. Функция рассеяния, определяемая выражениями (65) и (66) [7].

На рис. 13.6 эта функция рассеяния представлена для случая, когда

За исключением ограничений (58), (59) и (64), функции и произвольны. Это допускает большую свободу в выборе даже для модели первого порядка. Например, если

функция пропорциональна X, то функция рассеяния «размазана» в плоскости Можно выбрать так, чтобы получить многомодальную (по ) функцию рассеяния. На рис. 13.7 представлена функция рассеяния которая и многомодальна и «размазана» в плоскости Здесь

Рис. 13.7. Функция рассеяния, определяемая выражениями (67) и (68)

Этот пример иллюстрирует гибкость, достигаемую при использовании модели первого порядка. Используя систему более высокого порядка, можно описать функцию рассеяния, которая является рациональной функцией частоты для каждого значения Чтобы получить многомодальную функцию рассеяния, нужно использовать модель состояния по крайней мере второго порядка.

Точно так же, как и ранее, основное преимущество формулировки задачи в переменных состояния заключается в том, что она позволяет выразить алгоритм оптимального приемника и его помехоустойчивость в такой форме, что фактически можно найти ответ в явном виде. Конкретные примеры этой модели мы рассмотрим в § 13.2 и 13.3.