10. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ: МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ЦЕЛИ

В начале гл. 9 была введена в рассмотрение модель сигнала, отраженного от медленно флуктуирующей точечной цели, которая находится на некотором расстоянии и движется с некоторой скоростью. Принятый сигнал в отсутствие шума при этом записывался в виде

В рамках задачи обнаружения предполагалось, что известные параметры, и в последующем на основе решения этой задачи выносилось решение о наличии или отсутствии цели. Теперь рассмотрим задачу, в которой считаются неизвестными неслучайными (детерминированными) параметрами, которые требуется оценить.

Поскольку эта глава по своему объему весьма велика, опишем кратко ее построение. В § 10.1 произведен синтез оптимального приемника и с качественной стороны рассмотрена задача синтеза сигнала. В § 10.2 выполнен анализ помехоустойчивости оптимального приемника. Показано, что функция, называемая функцией неопределенности, играет главную роль при рассмотрении достоверности обнаружения. В § 10.3 изложен ряд свойств этой функции, которые служат основой для решения задачи синтеза сигнала. В § 10.4 исследована помехоустойчивость кодированных импульсных последовательностей. В § 10.5 рассмотрен случай, когда, помимо полезной цели, параметры которой необходимо оценить, имеются мешающие цели. Наконец, в § 10.6 подведены основные итоги и рассмотрены некоторые родственные вопросы.

10.1. Вывод алгоритма оптимального приемника и синтез сигналов

Интересующая нас модель отражения от цели была рассмотрена в § 9.1, а соответствующее ей аналитическое представление принятого сигнала дается выражением (1). Предполагается, что аддитивный шум является белым полосовым гауссовым процессом со

спектральной плотностью Допустим, что интервал наблюдения бесконечен. Для упрощения записи будем опускать подстрочный индекс в обозначении частотного сдвига. Итак, комплексная огибающая принятого сигнала записывается в виде

Множитель комплексная гауссова случайная величина с нулевым средним и

Комплексную огибающую сигнала можно нормировать в соответствии с так, чтобы равнялась излучаемой (передаваемой) энергии. Средняя энергия принятого сигнала

Комплексный белый шум имеет ковариационную функцию

Параметры и — неизвестные неслучайные параметры, значения которых требуется оценить.

Прежде всего необходимо найти функцию правдоподобия. Вспомнив вывод из гл. 4 первого тома о соответствии между функцией правдоподобия и отношением правдоподобия, можно использовать (9.36), (9.38) и (9.39) для непосредственного получения ответа. В результате имеем

где

Коэффициент в выражении (6) имеет значение только тогда, когда вычисляется граница Крамера — Рао, а в большей части наших выкладок его можно исключить. Итак, необходимо вычислить

как функцию и . Значения параметров при которых эта функция имеет максимум, обозначим через и . Поскольку нас интересуют только оценки максимального правдоподобия, во всех последующих выражениях подстрочный индекс будем опускать.

Теперь необходимо сформировать функцию для значений параметров х и в интересующем нас интервале. Для любого

конкретного значения параметра , скажем можно воспроизвести как функцию времени, используя полосовой согласованный фильтр и квадратичный детектор огибающей (см. рис. 9.5). Для различных значений со необходимо использовать разные фильтры. Выбрав ряд значений перекрывающих интересующий частотный диапазон, можно получить дискретную аппроксимацию функции Не будем пока беспокоиться о том, насколько мелкий шаг должна иметь частотная сетка, чтобы получить удовлетворительное по точности приближение. Устройство обработки сигнала в этом случае представляет набор полосовых согласованных фильтров и квадратичных детекторов огибающей как показано на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Структурная схема приемника, формирующего выходной сигнал в виде и наглядное представление реализации выходного сигнала.

Далее нужно исследовать свойства процесса на выходе устройства обработки. Для простоты будем рассматривать его как непрерывную функцию и .

Предположим, что фактическое время запаздывания и допплеровский сдвиг частоты равны соответственно. (Напомним, что и являются переменными в выражении для функции правдоподобия.) Тогда можно записать

или

Чтобы упростить это выражение, введем в рассмотрение переменные

и функцию

Соотношения (11) и (12) означают сдвиг начала координат в точку на плоскости где находится данная цель. Это изображено на рис. 10.2. Подставляя (11) - (13) в (10), имеем

Первое слагаемое в (14) обусловлено исключительно сигналом и только оно остается в случае, когда нет шума. Сделав подстановку

видим, что оно не зависит от и . Обозначим в первом слагаемом выражение в фигурных скобках как функцию

Оно соответствует деленному на выражению для выходного сигнала приемника в отсутствие шума.

Назовем функцию, стоящую внутри знаков модуля, частотновременной автокорреляционной функцией процесса и определим ее выражением

Она является мерой сходства между комплексной огибающей и ее копией, сдвинутой во времени и по частоте. По определению,

Функция впервые была введена Вилле [1] и носит название функции неопределенности. Позднее будет показано, почему это название является подходящим. Иногда ее называют функцией неопределенности Вудворда ввиду того, что ему принадлежат первые работы, в которых рассмотрены ее свойства (см. [8, 60]).

Вследствие того, что функция нормирована,

На основании неравенства Буняковского — Шварца имеем

Таким образом, процесс на выходе приемника содержит три компоненты и представляется поверхностью над плоскостью Первой компонентой является функция положительная функция, максимальное значение которой находится в той точке плоскости, где расположена цель. Вторая и третья компоненты обусловлены аддитивным шумом.

Несколько позднее мы изучим влияние этих двух компонент, но сначала более подробно рассмотрим функцию

Рис. 10.2. Координатные системы в плоскости

Чтобы получить некоторое представление о поведении функций и для некоторых типичных сигналов, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Одиночный прямоугольный импульс. Пусть действительная функция, описывающая импульс прямоугольной формы, т. е.

Тогда

Абсолютная величина (модуль) частотно-временной автокорреляционной функции показана на рис. 10.3. (Фактически здесь представлены лишь некоторые сечения ее поверхности плоскостями, нормальными к плоскости проведенными через линии постоянных и постоянных Заметим, что эта функция симметрична относительно обеих осей.

Рис. 10.3. Модуль частотно-временной автокорреляционной функции для импульса прямоугольной формы.

Удобный метод представления функции неопределенности иллюстрируется рис. 10.4. Изображенные здесь кривые представляют собой контуры постоянной высоты (экви- или изовысотные линии) поверхности

Рис. 10.4. Линии постоянных значений функции неопределенности прямоугольного импульса.

Отметим, что функция неопределенности имеет единственный пик (лепесток), ширина которого по оси прямо пропорциональна а по оси — обратно пропорциональна

Прежде чем перейти ко второму примеру, целесообразно качественно рассмотреть, как остальные два слагаемых в (14) влияют на оценку и при типичной реализации эксперимента. Чтобы это

установить, рассмотрим сечение поверхности вертикальной плоскостью, проведенной через ось как показано на рис. 10.5, а. Из (14) видно, что эта функция содержит и слагаемые, учитывающие влияние шума. На рис. 10.5, б показан вид поверхности сверху. Заштрихованная площадь определяется функцией изображенной на рис. 10.4. Контурные линии — это линии равных высот поверхности Значения и , при которых эта поверхность имеет максимум, обозначены через

Рис. 10.5. Реализация сигнала на выходе приемника в конкретном эксперименте: а — сечение функции плоскостью ; б - контурные линии постоянных значений.

Нетрудно заметить, что при отсутствии шума выбор этих значений будет всегда правильным. Но если вклады слагаемых, учитывающих влияние аддитивного шума, при некоторых значениях будут достаточно велики, чтобы сместить пик результирующей функции из начала координат, то при определении и будут иметь место ошибки. Поэтому, чтобы свести к минимуму эти ошибки, надо попытаться найти такую функцию у которой функция неопределенности равна единице в начале координат и нулю в остальных точках. Идеальной была бы функция неопределенности, представленная на рис. 10.6, а. Можно ожидать, что найти функцию которая имела бы такую

разрывную функцию неопределенности, нелегко. Однако практически вполне пригодным могло бы быть приближение к идеальной функции неопределенности, показанное на рис. 10.6, б.

Из всего изложенного очевидно, что необходимо выбрать функцию так, чтобы ее функция неопределенности геометрически представлялась узким пиком.

Рис. 10.6. Желательная форма функций неопределености: а — идеальная функция неопределенности; б — возможное приближение к идеальной функции неопределенности.

Из выражения (24) и рис. 10.3 видно, что в случае прямоугольного импульса этот пик можно сделать сколь угодно узким в любом из двух сечений — по оси или по оси со (но не в обоих одновременно) путем изменения длительности импульса

Рис. 10.7. Огибающая импульса гауссовой формы.

Поскольку прямоугольный импульс не позволяет реализовать функцию неопределенности, аналогичную изображенной на рис. 10.6, б, рассмотрим некоторые другие сигналы.

Пример 2. Простой гауссов импульс. В качестве полезной аналитической идеализации импульсных сигналов часто используют так называемый гауссов импульс, форма огибающей которого показана на рис. 10.7:

Его эффективная длительность пропорциональна а частотновременная автокорреляционная функция имеет вид

Дополняя в (26) выражение в фигурных скобках до полного квадрата и интегрируя, получаем

Рис. 10.8. Контурные линии постояных значений функции неопределенности гауссова импульса: а — при ; б - в приведенной системе координат.

Следовательно, функция неопределенности гауссова импульса имеет вид

Ее контурные линии равных высот представляют собой эллипсы (рис. 10.8). Точно так же, как в примере 1, в этом случае единственный параметр (длительность импульса) позволяет контролировать точность системы как по дальности, так и по скорости цели.

Из приведенных примеров следует, что если желательно одновременно улучшить оценки дальности и скорости цели, то необходимо обратиться к сигналам более сложной структуры. По-видимому, для этого требуется сигнал, содержащий несколько параметров, которые можно варьировать с целью оптимизации системы. Имея в виду эту цель, рассмотрим два широких класса сигналов.

Кодированные импульсные последовательности. Сигналы этого класса строятся посредством операций над одиночным импульсом и рассматриваемым как субимпульс более сложного сигнала — последовательности импульсов. Обычно в качестве субимпульса

используется импульс прямоугольной формы, рассмотренный в при мере 1:

В схеме формирования сложного сигнала субимпульсы подвергаются операциям задержки, амплитудного взвешивания, частотного сдвига, фазового сдвига и суммирования. Таким образом, в этом случае

Постоянный коэффициент с вводится для нормировки функции Простая иллюстрация сигнала этого класса будет рассмотрена в примере 3. Подробно класс кодированных импульсных последовательностей будет исследован в § 10.4.

Модулированные аналоговые сигналы. Сигналы этого класса формируют путем модуляции несущего колебания по амплитуде и (или) по частоте с целью получения требуемых свойств. Простые модели сигналов этого класса даны в примерах 4 и 5.

Выведем теперь выражения для функций неопределенности нескольких полезных сигналов. Эти примеры дадут нам некоторое представление об общих свойствах функции неопределенности.

Пример 3. Импульсная последовательность с постоянной частотой повторения импульсов. Рассмотрим последовательность (пачку) прямоугольных импульсов, показанную на рис. 10.9. Она характеризуется длительностью импульса периодом следования импульсов и общим числом импульсов в пачке Такая последовательность часто используется в системах радио- и гидролокации ввиду следующих преимуществ:

1. Ее легко генерировать.

2. Оптимальный приемник для ее приема прост в реализации.

3. Ее параметры можно изменять применительно к различным условиям работы системы.

Предполагается, что Период следования импульсов не обязательно должен быть кратен длительности импульса Т.

Рис. 10.9. Последовательность импульсов.

Длительность всей последовательности обозначим через

Обозначив импульс как (см. (29)), комплексную огибающую излучаемого сигнала можно записать в виде

Заметим, что в данной модели предполагается, что цель не флуктуирует в течение секунд, пока она облучается зондирующим сигналом.

Выведем теперь выражения для и Сначала рассмотрим случай, когда . С учетом (32) из (17) имеем

Положив

получим

Выражение, стоящее в фигурных скобках, равно а сумма в пределах от до есть сумма членов конечного геометрического ряда. Таким образом, (35) сводится к виду

Легко заметить, что характеристики субимпульса учитываются только последним сомножителем (36). Сомножитель, взятый в фигурные скобки, зависит только от и определяется периодом следования импульсов и числом импульсов в пачке. Графически он представлен на рис. 10.10, а. Первый нуль этого осциллирующего множителя, как видно из графика, имеет место при

а побочные максимумы — при

На рис. дано графическое представление функции для импульсов прямоугольной формы. Эти два графика характеризуют влияние параметров

Рис. 10.10. Графическое представление сомножителя частотно-временной корреляционной функции, описываемой выражением (36) [45], (а) и функции для прямоугольного импульса (б).

Учитывая, что

нетрудно прийти к выводу, что форма функции определяется осциллирующим сомножителем, представленным на рис. 10.10, а. Так, ширина главного пика уменьшается при увеличении общей длительности всей последовательности импульсов. Боковые пики следуют с интервалом по частотной оси. При осциллирующий сомножитель равен так что

Далее рассмотрим случай Перекрытия импульсов не происходит до тех пор, пока не будет равно разности При этом значении ситуация аналогична случаю, когда

за исключением того, что перекрытие будет на один импульс меньше. Следовательно, для прямоугольного импульса

Вертикальному сечению по оси соответствует такое же выражение, как (38), если не считать масштабного множителя и временного сдвига:

Рис. 10.11. Приближенное представление функции импульсной последовательности посредством контурных линий постоянных значений [9].

Аналогичный результат получается для больших значений Через каждые секунд следует пик, но величина его убывает. Другое представление функции неопределенности показано на рис. 10.11. Этот вид графического представления впервые был введен Сибертом [9]. Зачерненные участки соответствуют областям, где высота функции значительна (обычно граница этих областей берется по половине максимального значения, т. е. на уровне . В заштрихованных областях значения функции малы, но отличны от нуля. В незаштрихованных областях функция неопределенности равна нулю.

Рассмотренный пример показывает ряд новых особенностей задачи построения (синтеза) сигнала:

1. Ширину главного пика по оси частот (допплеровского сдвига) можно уменьшить, увеличив

2. Ширину главного пика по оси времени (дальности) можно уменьшить, уменьшив Это соответствует расширению спектра сигнала. Таким образом, располагая большим числом параметров при построении сигнала, можно получить функцию неопределенности, главный пик которой является узким как по оси дальности, так и по оси допплеровского сдвига.

3. При построении данного конкретного сигнала это достигается ценой появления побочных пиков. Нетрудно выяснить влияние этих побочных пиков. Даже небольшой шум может привести к тому, что общее значение функции неопределенности в побочных пиках превысит значение функции в главном, полезном пике. Важность этих побочных пиков зависит от априорного знания области на плоскости в которой может находиться цель. Два возможных случая иллюстрируются рис. 10.12. В первом случае множество побочных пиков лежит вне представляющей интерес области при всех возможных значениях и, таким образом, наличие их не вызывает каких-либо осложнений. Во втором случае они находятся внутри интересующей нас области и тогда даже при слабом шуме можно ошибиться при выборе нужного пика.

Рис. 10.12. Области, в которых может находиться цель.

В этом кратком обсуждении освещены два вопроса, которые встречаются при рассмотрении качества работы системы. Первый — вопрос о локальной точности (т. е. сколь мала будет ошибка при условии, что пик выбран правильно?). Второй — вопрос о глобальной точности (т. е. как часто будут возникать большие ошибки?). Подобные вопросы уже встречались ранее в гл. 4 первого тома при рассмотрении задач, связанных с ЧИМ и ФИМ, и задач, связанных с угловой модуляцией (в гл. 2 второго тома). Прежде чем перейти к количественному исследованию указанных двух вопросов, целесообразно рассмотреть функции неопределенности для ряда других сигналов.

В качестве следующего примера рассмотрим модулированное аналоговое колебание. Все ранее рассмотренные сигналы получались путем амплитудной модуляции постоянного несущего колебания. Чтобы внести большую свободу в условия синтеза сигнала, рассмотрим теперь возможность частотной модуляции несущей, в частности

внутриимпульсной линейной частотной модуляции (ЛЧМ), т. е. модуляции, описываемой соотношением

(Напомним, что фаза колебания

Вместо того чтобы вычислять функцию неопределенности для конкретного импульса непосредственно, воспользуемся интересным свойством, справедливым для произвольного колебания Свойство 1. Если

то

Этот вывод следует непосредственно из определений (17) и (18):

Таким образом, внутриимпульсная ЛЧМ приводит к растяжению функции неопределенности в направлении, параллельном оси и. Применим теперь это свойство к гауссову импульсу.

Пример 4. Гауссов импульс с внутриимпульсной ЛЧМ. В этом случае

Тогда согласно (28) с учетом (426) получим

Линии равных высот в данном случае являются эллипсами, описываемыми уравнением

Для удобства при графических построениях введем в рассмотрение функции и которые определены в Приложении. Для сигнала вида (43) имеем

Тогда уравнение (45) сведется к виду

Рис. 10.13. Контурная линия постоянного значения функции для гауссова импульса с ЛЧМ.

На рис. 10.13 уравнение (49) представлено в графической форме для случая Большая ось эллипса наклонена под углом а к оси х, определяемым соотношением

Значения функции неопределенности в вертикальной плоскости, проведенной через ось равны

Аналогично в плоскости, проведенной через ось , имеем

Из (51а) видно, что ширина функции неопределенности по оси обратно пропорциональна среднеквадратическому значению длительности сигнала. Таким образом, при увеличении и ширина функции неопределенности уменьшается по обеим осям

одновременно. Следовательно, можно точно измерять дальность до цели, имеющей известную скорость, или точно измерять скорость цели, дальность до которой известна. Однако, если оба эти параметра неизвестны, то в плоскости имеется область неопределенности. Для положительных значений область неопределенности лежит в первом и третьем квадрантах, как показано на рис. 10.13. Значимость этой неопределенности для работы системы зависит от конкретной физической ситуации (т. е. от того, могут ли цели появляться с этого направления в плоскости Один из способов разрешения этой неопределенности — излучать второй импульс с ЛЧМ с противоположным знакомизменения частоты.

Рис. 10.14. График функции прямоугольного импульса с ЛЧМ

Аналогичные свойства имеет функция неопределенности прямоугольного импульса с ЛЧМ несущей.

Пример 5. Прямоугольный импульс с ЛЧМ. В этом случае

Согласно (23) и с учетом (426) находим

В сечении по оси имеем

В сечении по оси получаем

На рис. 10.14 представлен график функции для случая Как видно из графика, первый нуль функции находится вблизи точки

где

есть диапазон изменения частоты при ЛЧМ. Таким образом, как и можно было ожидать из рассмотрения гауссова импульса, точность

Рис. 10.15. Сжатие импульса: а — огибающая входного импульса; б - закон изменения частоты; в — огибающая выходного импульса.

Точность рассмотренных в примере 5 оценок, выдаваемых приемником сигналов, допускает интересную интерпретацию. Пусть на вход приемника воздействует «длинный» (большой длительности) импульс, представленный на рис. 10.15, а. Мгновенная частота его заполнения возрастает со временем, как показано на рис. 10.15, б. Передаточная функция согласованного фильтра имеет квадратичную фазочастотную характеристику. Время запаздывания огибающей (групповое время запаздывания) полосового сигнала, прошедшего через любой фильтр, пропорционально производной от фазочастотной характеристики фильтра по частоте (см., например, [2]). Для импульса с ЛЧМ производная от фазочастотной характеристики согласованного фильтра уменьшается линейно с увеличением частоты. Поэтому низкочастотные составляющие спектра импульса, которые появляются в его начале, запаздывают на большее время, чем высокочастотные составляющие, имеющие место в моменты времени перед его окончанием. Вследствие этого на выходе фильтра появляется «короткий» (уменьшенной длительности) импульс, представленный на рис. 10.15, в. Таким образом, действие

рассмотренного приемника заключается в сжатии поступающего на его вход длинного импульса в короткий импульс на выходе тракта обработки, что сопровождается повышением точности измерения дальности. Систему этого типа обычно называют «РЛС со сжатием импульсов». Ее очевидным преимуществом является то, что если система ограничена по пиковой мощности, то можно увеличить излучаемую энергию путем увеличения длительности импульса, не теряя в точности измерения дальности. Идея сжатия импульсов благодаря использованию частотной модуляции несущей была независимо предложена в США (Дик [3] и Дарлингтон [4]) и ФРГ (Хуттман [5] и Кауер [6]). Интересное рассмотрение этой проблемы проводится в статье Кука [71.

Приведенные примеры иллюстрируют фундаментальную роль, которую играет функция неопределенности в задаче оценки дальности и скорости цели в допплеровских радиолокационных системах. Вернемся теперь к общему случаю и выведем некоторые количественные соотношения для точности оценок. В § 10.2 получены выражения для точности оценок через функцию неопределенности. В § 10.3 изложены некоторые общие свойства функции неопределенности. Далее, в § 10.4 мы возвращаемся к задачам синтеза (построения) сигналов.