7.3. Процессы с разложимыми ядрами
В гл. 4 было рассмотрено несколько физических ситуаций, которые приводят к задачам теории обнаружения, связанным с наблюдением процессов с разложимыми ядрами. Большинство из этих ситуаций имеет аналоги в контексте теории оценок. Ввиду этого сходства ограничимся просто формулировкой задач и рассмотрим простой пример. Обозначим ковариационную функцию сигнала через 
Если ее можно записать в виде
Для некоторого конечного К и для любого значения параметра А на интервале 
получаем задачу оценки для случая процесса с разложимыми ядрами. Заметим, что собственные значения и собственные функции могут зависеть от параметра А. Для иллюстрации некоторых аспектов, связанных с разложимостью ядер, рассмотрим простую задачу оценки амплитуды.
Пример 
Принятое колебание аналитически записывается в виде
Среднее значение сигнального процесса равно нулю, а ковариационная функция сигнала имеет вид
Допустим, что ковариационная функция 
является разложимой:
Функцию правдоподобия в этом случае можно записать в виде
где
Чтобы найти оценку 
необходимо определить значение параметра А, при котором функция 
имеет максимум. Если 
является несмещенной оценкой, то ее дисперсия имеет границу
Если этот максимум имеет место в точке, находящейся внутри интервала изменения параметра А и функция 
имеет непрерывную первую производную, то необходимое уравнение можно получить в результате дифференцирования выражения (124):
При произвольных значениях 
это уравнение не всегда полезно. Существует, однако, три случая, когда можно получить более простое выражение для оценки:
1. Имеется К одинаковых собственных значений.
2. Все собственные значения много больше отношения 
3. Все собственные значения много меньше отношения 
Последние два случая аналогичны предельным случаям, которые были рассмотрены в § 7.1, и поэтому оставим их для самостоятельного изучения в разделе задач (см. задачи 7.3.1 и 7.3.2).
В первом случае
и уравнение (127) сводится к виду
Поскольку оценка 
может принимать отрицательные значения, имеем
В данном конкретном случае плотность распределения вероятности 
можно вычислить точно. Это плотность распределения хи-квадрат (см. с. 117, 118 первого тома), сдвинутая на величину 
Можно также точно вычислить смещение и дисперсию оценки. При умеренных значениях 
приближенные формулы из п. 7.1.2 дают достаточно точные результаты. Различные выражения выводятся также в разделе задач.
Следует также заметить, что в случае одинаковых собственных значений оценка 
является эффективной несмещенной оценкой параметра А. Другими словами, ее дисперсия удовлетворяет условию (126) со знаком равенства. В этом можно убедиться путем непосредственного вычисления дисперсии 
Этот пример иллюстрирует простейшую задачу с разложимыми ядрами. В общем случае для получения оценки приходится использовать параллельную схему обработки, изображенную на рис. 6.1. Заметим, что каждый тракт обработки будет содержать К фильтров-квадраторов. Поэтому, если в системе обработки имеется 
трактов, то всего в ней должно быть 
фильтров-квадраторов. Ввиду такой сложности обычно стараются найти субоптимальный приемник, по точности близкий к оптимальному. Структура подобного субоптимального приемника будет зависеть от того, каким образом оцениваемый параметр входит в ковариационную функцию. Несколько типичных случаев приведены в задачах.
