4.2. Разложимые ядра

В этом параграфе будет рассмотрен класс ковариационных функций сигналов, которые позволяют определить структурную схему и помехоустойчивость оптимального приемника простым и непосредственным методом. В п. 4.2.1 рассмотрена модель задачи с разложимым ядром и выведены необходимые уравнения, которые определяют оптимальный приемник и его помехоустойчивость. В пп. 4.2.2 и 4.2.3 рассмотрены физические ситуации, в которых модель с разложимым ядром оказывается справедливой. В заключение, в п. 4.2.4 подытожены полученные результаты.

4.2.1. Модель задачи с разложимым ядром

Сначала рассмотрим данный вопрос в контексте простой бинарной задачи с процессами, имеющими нулевые средние. Принимаемые колебания по двум гипотезам записываются в виде

Шум является выборочной функцией белого гауссова случайного процесса с нулевым средним и спектральной плотностью Сигнал представляет собой выборочную функцию гауссова случайного процесса с нулевым средним и ковариационной функцией

На основании (2.28) критерий отношения правдоподобия запишем в виде

где функция определяется интегральным уравнением

В п. 4.3.6 первого тома изложен метод решения этого интегрального уравнения. На с. 367 там было отмечено, что если ядро интегрального уравнения (т. е. ковариационная функция сигнала) является разложимым, то решение уравнения вида (826) следует почти без выкладок. Разложимое ядро соответствует сигнальному процессу с конечным числом собственных значений. Таким образом, можно записать

где собственные функции и собственные значения сигнального процесса. В этом случае решение уравнения (826) имеет вид

В этом можно убедиться при подстановке (84) в (826). Для случая разложимых ядер простейшей реализацией является каноническая реализация № 3 (приемник в форме фильтра-квадратора).

Рис. 4.13. Реализация приемника в форме коррелятора для случая разложимых ядер.

На основании (2.45) имеем

Решением этого уравнения является

Используя (85) и (86) в (82а) и выполняя интегрирование по получим

Операции над процессом можно реализовать, используя либо корреляторы, либо согласованные фильтры. Эти реализации показаны на рис. 4.13 и 4.14. Указанные структурные схемы приемника известны нам по рис. 4.66 на с. 396 первого тома. По аналогии с (I—4.399) принятый по гипотезе сигнал записывается в виде

где независимые Гауссовы случайные Величины с нулевыми средними и дисперсиями , а сигналы ортонормальны. Полный сигнал представляется как

является гауссовым процессом с нулевым средним и ковариационной функцией

Сравнивая (90) и (83), видим, что задача с разложимым ядром тождественна задаче, решенной в п. 4.4.2 первого тома в контексте задачи с нежелательными параметрами.

Рис. 4.14. Реализация приемника в форме согласованного фильтра для случая разложимых ядер.

Как было отмечено на с. 395 первого тома, эта задача также тождественна общей гауссовой задаче, которая была решена в § 2.6 первого тома. Основанием для такого упрощения является то, что сигнал имеет лишь конечное число собственных значений. Поэтому колебание можно непосредственно отобразить в виде -мерного вектора являющегося достаточной статистикой. Следовательно, все примеры, приведенные в § 2.6 и 4.4 первого тома, соответствуют задачам на гауссовы процессы с разделимыми ядрами и мы располагаем набором формул, которые здесь можно использовать.

Приближенную формулу помехоустойчивости оптимального приемника получим, вычислив и использовав приближенные формулы (2.166) и (2.174). Из выражения для первого члена в (2.132) имеем

Использовав (91) в (2.166) и (2.174), получим приближенные формулы для и Напомним, что если К. собственных значений

равны, то можно получить точную формулу. Но даже в этом случае проще пользоваться приближенными формулами, которые дают достаточно точные результаты при умеренных значениях К (см. рис. 2.42 первого тома).

Итак, в данном параграфе мы установили, что задача на разложимые ядра тождественна задачам, которые были рассмотрены ранее. Далее целесообразно рассмотреть ряд физических ситуаций, в которых сигнальные процессы имеют разложимые ядра.