10.6. Краткие итоги главы и некоторые близкие вопросы

Сначала дадим краткий обзор полученных результатов, а затем обсудим некоторые родственные вопросы.

10.6.1. Краткие итоги

В этой главе мы изучали задачу оценки дальности и скорости медленно флуктуирующей точечной цели. Интересующая нас модель задачи характеризуется несколькими особенностями:

1. Интересующие нас сигналы и случайные процессы имеют ограниченный по ширине спектр, симметричный относительно некоторой несущей частоты. Это свойство позволяет представлять сигналы и процессы либо двумя действительными колебаниями со спектрами нижних частот, либо одним комплексным колебанием. Выбрав последнее, мы заново сформулировали полученные ранее результаты при помощи комплексных величин.

2. Влияние медленно флуктуирующей цели выражается в умножении сигнала на комплексную гауссову случайную величину. Физически это соответствует тому, что в отраженный сигнал вносятся случайная амплитуда и случайная фаза. Предполагая, что сигнал является узкополосным, влияние скорости цели можно моделировать как допплеровский сдвиг. Таким образом, принятый сигнал аналитически записывают в виде

На основе этой модели мы и рассмотрели задачу оценки дальности и скорости и показали, что функция правдоподобия позволяет непосредственно получить оптимальный алгоритм обработки и структуру оптимального приемника.

При определении качества обнаружения и оценки мы встретились с функцией неопределенности сигнала. Было установлено, что большое значение имеют три самостоятельные проблемы.

Точность. Если можно быть уверенным, что ошибка мала (т. е. просматривается истинная область плоскости то форма функции неопределенности вблизи начала координат полностью определяет точность системы. Количественные оценки точности получаются на основе неравенства Крамера — Рао.

Неопределенность. Свойство инвариантности объема тела неопределенности показывает, что если объем центрального пика уменьшают (чтобы повысить точность системы), то значения функции неопределенности должны увеличиться где-то на других участках плоскости С точки зрения точности и неопределенности были исследованы периодические импульсные последовательности, ЛЧМ сигналы и псевдослучайные последовательности.

Разрешающая способность. Возможное присутствие дополнительных мешающих целей приводит к возникновению проблемы разрешения дискретных целей. Главным итогом нашего рассмотрения является вывод о том, что если возможно, сигнал необходимо согласовать с локационной обстановкой. Если значения функции неопределенности можно сделать малыми в тех точках плоскости где ожидается наличие мешающих целей, то приемник с обычным согласованным фильтром будет близким к оптимальному.

10.6.2. Примыкающие вопросы

Множество обобщенных параметров. Выше подчеркивалось значение задач оценки дальности и допплеровского сдвига. Во многих системах интерес представляют другие параметры. Типичными величинами могут быть азимутальный угол или угол возвышения (угол места). Так как распространение ранее полученных результатов на множество произвольных параметров не встречает принципиальных трудностей, можно просто сформулировать окончательные результаты.

Предполагается, что принятый сигнал можно аналитически записать в виде

Здесь А — неслучайный векторный параметр, который необходимо оценить, комплексный белый гауссов процесс. Предполагается также, что

Комплексная функция, формируемая оптимальным приемником, выражается в виде

а логарифм функции правдоподобия — в виде

(по аналогии с (6)). Функция (216) вычисляется как функция параметров: Значение параметра А, при котором функция имеет максимум, равно Точно так же, как на с. 309, должны быть исследованы характеристики функции в предположении, что реальный (фактический) сигнал есть Эта процедура приводит к обобщенной корреляционной функции

и обобщенной функции неопределенности

Следует также заметить, что частные свойства, выведенные в § 10.3, применимы только к частотно-временным функциям. Проблемы точности, неопределенности и разрешающей способности в пространстве обобщенных параметров можно исследовать при помощи этой обобщенной функции неопределенности.

Формулы точности выводятся достаточно просто. В частности, можно показать, что элементы информационной матрицы равны

Некоторые интересные примеры, иллюстрирующие эти соотношения, содержатся в задачах вне основного текста (см. также [36]).

Рассогласованные фильтры. Существует несколько случаев, когда фильтры в приемниках не согласуются с сигналом. Примером может служить оценка при наличии небелого (окрашенного) шума. В этом случае импульсная переходная функция оптимального фильтра является решением интегрального уравнения, ядро которого есть ковариационная функция шума (см., например, с. 277—280, 361—366). Другим примером может служить случай, когда фильтр умышленно рассогласовывают с целью уменьшения боковых лепестков. Качество работы системы с точки зрения локальной точности уже не будет оптимальным, но оно может все еще быть удовлетворительным.

Если фильтр согласован с то на выходе приемника имеем

По аналогии с (17) и (18) введем в рассмотрение частотно-временную взаимокорреляционную функцию, определяемую соотношением

и функцию взаимной неопределенности, определяемую как

Свойства этих функций исследовались Статтом [37, 44] и Рутом [38] (см. также задачи 10.6.2-10.6.5 и работы [68, 74, 75]).

Обнаружение цели с неизвестными параметрами. Часто встречается задача обнаружения целей, дальность и скорость которых неизвестны. Модель этой задачи можно сформулировать в виде

где неизвестные неслучайные параметры. Укажем два подхода к решению этой задачи.

Первый подход заключается в использовании критерия обобщенного отношения правдоподобия (см. § 2.5 первого тома). Испытание по этому критерию записывается в виде

Порог у регулируют так, чтобы получить требуемую вероятность ложной тревоги Качество этого критерия подробно рассмотрено Хелстромом [39].

Второй подход сводится к разбиению области на плоскости где ожидается наличие целей, на прямоугольных сегментов (о том, как выбрать эти сегменты — см. рассуждения на с. 334, 335). Обозначим координаты центральной точки ячейки на плоскости через и затем рассмотрим задачу на испытание двух гипотез:

Но это не что иное, как задача обнаружения одного из М сигналов, которая была рассмотрена на с. 446 первого тома. Как и следовало ожидать, в этом случае качество двух указанных систем одинаково.

Сигналы с большим произведением длительности на ширину спектра. В некоторых гидролокационных системах ширина спектра сигнала настолько велика, что условие

(см. (9.23)) не выполняется. В этих случаях сжатие масштаба времени уже нельзя моделировать как допплеровский сдвиг частоты. Эта проблема рассмотрена в работах [69—73], к которым мы и отсылаем интересующихся читателей.

На этом завершается рассмотрение медленно флуктуирующих целей и каналов. Перейдем к рассмотрению задач следующего уровня сложности в нашей классификации.

10.7. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)