9.5. Синтез оптимальных сигналов

Помехоустойчивость приемника при наличии небелого шума определяется формулой (77). Ее можно переписать в виде

При написании последнего выражения использовано условие нормировки (99). Интеграл во втором его члене представляет собой

величину которая первоначально была определена выражением (100). Альтернативным выражением для является (111).

Требуется выбрать функцию так, чтобы величина была минимальной. Чтобы задача имела смысл, необходимо ограничить энергию и ширину спектра функции (см. с. 345 первого тома). Наложим следующие условия:

— ограничение по энергии:

— ограничение по среднему квадрату ширины спектра:

Кроме того, во избежание разрывов непрерывности функции на концах интервала, потребуем, чтобы

Функция, которую требуется минимизировать, записывается в виде

где — множители Лагранжа. Чтобы выполнить минимизацию, положим

и потребуем, чтобы

для всех удовлетворяющих условиям (123)-(125). Подставив (127) в (126) и выполнив указанные действия, получим

В результате интегрирования последнего члена по частям, учета (125) и группировки членов имеем

Поскольку функция является произвольной, выражение, заключенное в квадратные скобки, должно быть тождественно равно нулю. На основании (92) и (122) замечаем, что

Введем в рассмотрение функцию определяемую как

Теперь имеем следующую систему дифференциальных уравнений, которой определяется функция

при граничных условиях

Если вектор состояния наблюдаемого процесса является -мерным, то имеем линейных уравнений. Их необходимо решить как функции множителей и а затем вычислить эти множители с учетом условий (123) и (124). Поскольку условие (128) является лишь необходимым, получим несколько решений, которые удовлетворяют уравнениям (133)-(139) и условиям (123)-(125). Поэтому следует выбрать решение, которое дает абсолютный минимум. Баггерер [3, 4] впервые вывел уравнения (133)-(139), исходя из принципа Понтрягина, и нашел их решения для некоторых типичных процессов с действительными значениями. Подробное рассмотрение этих вопросов можно найти в двух упомянутых работах Баггерера.

Часто вместо квадратичных условий (123) и (124) бывает желательным наложить на сигнал более жесткие ограничения. Например, можно потребовать, чтобы

В этом случае для отыскания уравнений, определяющих оптимальный сигнал, можно использовать принцип Понтрягина (см. [5] или [6]).

Цель этого краткого рассмотрения — показать, как метод представления в переменных состояния можно использовать для исследования методов синтеза оптимальных сигналов. Другие задачи синтеза сигналов будут встречаться по ходу изложения материала книги.