П.2. Полосовые линейные системы

Получим теперь комплексное представление для полосовых линейных систем. Рассмотрим сначала неизменные, инвариантные во времени системы и определим применительно к ним понятие полосовой системы.

П.2.1. Инвариантные во времени системы

Рассмотрим инвариантную во времени линейную систему с импульсной переходной функцией и передаточной функцией

Модуль типичного преобразования — передаточной функции интересующих нас систем — имеет вид, представленный на рис. П.7.

Рис. П.7. Модуль передаточной функции полосовой линейной системы.

Видим, что модуль передаточной функции ограничен по полосе частот некоторым участком, лежащим по обе стороны от несущей частоты Желательно представить полосовую импульсную переходную функцию через две квадратурные составляющие. Так как детерминированная функция, можно непосредственно использовать результаты § П.1. Введем в рассмотрение две функции нижних частот, определяемых как

Тогда

Определив комплексную импульсную переходную функцию как

получим искомое комплексное представление в виде

Введение коэффициента — лишь вопрос удобства.

Выведем теперь выражение для сигнала на выходе полосовой линейной системы с импульсной переходной функцией когда на ее входе действует полосовой сигнал

Заметим, что несущая частота входного сигнала и частота рассматриваемой системы тождественны. Это условие предполагается во всех последующих рассуждениях. Выходной сигнал получим, произведя свертку

Теперь комплексную огибающую сигнала на выходе полосовой линейной системы можно записать в виде

Так как функции нижних частот, два члена в содержащие множители при интегрировании дают приближенно нуль, и ими можно пренебречь. С учетом применительно к другим двум членам имеем

Этот результат показывает, что комплексная огибающая выходного сигнала полосовой системы получается в результате свертки комплексной огибающей входного сигнала и комплексной импульсной переходной функции системы. Коэффициент был введен в так что имеет знакомую нам форму.

П.2.2. Системы с изменяющимися во времени параметрами

Для полосовых систем с изменяющимися во времени параметрами комплексная импульсная переходная функция записывается в виде причем

Комплексная огибающая выходного сигнала равна

Действительный полосовой выходной сигнал определяется выражением