9.2. Обнаружение на фоне белого шума

В этом случае комплексные огибающие принимаемого колебания по двум гипотезам представляются в виде

где комплексная гауссова случайная величина с нулевым средним и независимый белый комплексный гауссов случайный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией

Комплексная огибающая имеет единичную энергию. Так как шум является белым, интервал наблюдения можно выбрать равным длительности сигнала.

Прежде всего необходимо найти достаточную статистику. Поскольку шум является белым, полное колебание можно разложить по любой полной ортонормальной системе функций и получить статистически независимые коэффициенты (см. Точно так же, как в § 4.2 первого тома, можно взять сигнал за первую ортонормальную функцию и тогда соответствующий этому первый коэффициент разложения будет достаточной статистикой. В комплексном случае должна производиться взаимокорреляционная обработка процессов как показано на рис. 9.1

Рис. 9.1. Схема формирования комплексной достаточной статистики.

Получаемый в результате этого коэффициент разложения равен

С учетом (34) имеем

где комплексная гауссова случайная величина с нулевым средним . Нетрудно убедиться в том, что является достаточной статистикой. Плотность вероятности комплексной гауссовой случайной величины определяется формулой

Испытание по критерию отношения правдоподобия выражается в виде

После логарифмирования и перегруппировки членов получим

Структурная схема корреляционного приемника, осущестрляющего операции в комплексной форме, представлена на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Структурная схема корреляционного приемника (операции выполняются в комплексной форме)

Рис. 9.3. Структурная схема приемника с согласованным фильтром (операции выполняются в комплексной форме).

Структурная схема комплексного приемника, в котором используется согласованный фильтр, показана на рис. 9.3. Здесь

где

Структурная схема реального полосового приемника изображена на рис. 9.4. Она содержит полосовой согласованный фильтр, квадратичный детектор огибающей и дискретизатор (устройство выборки в момент

Вычисление вероятностей ошибок и правильных решений не вызывает затруднений. Точно такая же задача была решена ранее (см. с. 396 первого тома), однако здесь целесообразно повторить вычисления для обобщения результатов.

Вероятность ложной тревоги равна

где введено обозначение

Таким образом,

Рис. 9.4. Стурктурная схема оптимального приемника для обнаружения полосового сигнала в белом гауссовом шуме.

Аналогично для вероятности правильного обнаружения получим

где

— ожидаемое значение энергии принимаемого сигнала. Объединяя (42) и (45), получим

Как и следовало ожидать, достоверность обнаружения зависит только от а форма сигнала (0 значения не имеет. Замечаем также, что показатель экспоненциальной функции в выражении для равен отношению математических ожиданий величины по соответствующим гипотезам:

Из изложенного ясно, что этот результат будет справедлив для критерия (39) во всех случаях, когда является комплексной гауссовой случайной величиной с нулевым среднимпо обеим гипотезам. Соотношение (48) удобно представить в другойформе:

Теперь можно записать

В случае белого шума

В следующем параграфе величина А будет определена для случая небелого шума.

Для учета ненулевых требуется лишь несложная модификация полученных результатов. Результат обработки на выходе приемника в этом случае следует записать в виде

Рис. 9.5. Структурная схема оптимального приемника для случая известного допплеровского сдвига.

Этот результат можно получить, если пропустить принятое колебание через фильтр, комплексная импульсная переходная функция которого равна

и далее через квадратичный детектор огибающей и дискретизатор, осуществляющий выборку в момент времени

Можно использовать также комплексную переходную функцию вида

и брать отсчет на выходе детектора в момент времени

результат будет эквивалентным. Очевидное преимущество такой реализации заключается в том, что все дальности можно испытывать, используя один и тот же фильтр. Эта операция показана на рис. 9.5. Здесь комплексная импульсная характеристика полосового согласованного фильтра определяется соотношением (55). На практике отсчет выходного сигнала обычно берут в момент времени, сдвинутый относительно начала наблюдения на величину, обратную ширине спектра принимаемого сигнала. Для испытания различных

значений допплеровского сдвига требуется набор различных фильтров. Подробнее этот вопрос будет обсужден в гл. 10.

Рассмотрим теперь случай, когда является небелым шумом.