2.1.3. Каноническая реализация № 3: приемник в виде фильтра-квадратора-интегратора

Третью каноническую форму можно синтезировать путем разложения импульсной переходной функции на множители. Введем в рассмотрение функцию связанную с соотношением

Если не требовать, чтобы была реализуемой, то можно найти бесконечное число решений уравнения (45). На основании (24) можно записать

где

Нетрудно заметить, что

является решением (45) при любом распределении знаков плюс и минус по членам ряда.

С учетом (45) выражение (37) принимает вид

Этот алгоритм можно реализовать последовательным включением нереализуемого фильтра, устройства с квадратичной характеристикой и интегратора, как показано на рис. 2.5.

Подходя к задаче реализации иначе, можно потребовать, чтобы разлагалась на множители, соответствующие импульсным

характеристикам реализуемых фильтров. Другими словами, необходимо найти решение уравнения (45), равное нулю при Тогда

Соответствующий этому алгоритму приемник показан на рис. 2.6. Если временной интервал конечен, то затруднительно найти реализуемое решение уравнения (45) для произвольных сигнальных процессов.

Рис. 2.5. Приемник в форме фильтра-квадратора (нереализуемый).

Позднее мы встретимся с несколькими частными ситуациями, которые позволяют получить простые решения.

Интегральное уравнение (45) является функциональным соотношением, в некотором смысле аналогичным операции извлечения квадратного корня. Поэтому будем называть функциональным квадратным корнем

Рис. 2.6. Приемник в форме фильтра-квадратора (реализуемый).

Мы будем вводить в рассмотрение только функциональные квадратные корни для симметричных функций двух переменных, которые можно разложить, как в (46), по системе ортонормальных функций с неотрицательными коэффициентами. Часто используется такая форма записи:

Любое решение (51) называется функциональным квадратным корнем. Заметим, что эти решения необязательно должны быть симметричными.

Недостаток всех синтезированных до сих пор структурных схем оптимального приемника заключается в том, что для их действительной реализации необходимо решить уравнение (23). Из материала гл. 4 первого тома известно, что это возможно лишь для

некоторых классов ядер и при некоторых условиях, наложенных на концы интервала Задачи этого типа исследуются в гл. 4 данного тома. С другой стороны, в § 6.3 первого тома было показано, что если интересующие нас процессы можно генерировать путем возбуждения линейной конечномерной динамической системы белым шумом, то имеется эффективная процедура для решения уравнения (44). Следует отметить, что многие процессы как нестационарные, так и стационарные, которые встречаются на практике, имеют конечномерное представление состояния.

Чтобы использовать изложенные выше эффективные процедуры вычисления, модифицируем теперь выведенные формулы так, чтобы получить выражение для в котором оптимальный реализуемый линейный фильтр, определяемый уравнением (44), был бы единственным фильтром, который необходимо найти.