2.2.4. Помехоустойчивость типичной системы

В этом подпараграфе исследуем помехоустойчивость системы, описанной в примере п. 2.1.5. Этот пример обеспечивает непосредственное применение формул помехоустойчивости, которые только что были выведены. В гл. 4 будет рассмотрена помехоустойчивость системы применительно к условиям различных задач.

Пример. Рассмотрим систему, описанную в примере на с. 44. Предполагается, что канальный процесс стационарный гауссов процесс с нулевым средним и спектром

Предполагается также, что передаваемый сигнал представляет собой прямоугольный импульс:

Как было отмечено ранее, эта канальная модель имеет многие характеристики моделей реальных каналов, которые будут подробно рассматриваться в гл. 10. Оптимальный приемник показан на рис. 2.10. Для иллюстрации применяемого метода вычислим используя как (138), так и (195). (Заметим, что

Чтобы применить (138), необходимо знать среднеквадратическую ошибку реализуемой фильтрации. Соответствующая формула

для этого конкретного спектра была выведена в примере 1 на

с. 620—622 первого тома. На основании (I-6.353) имеем

где

— средняя энергия принятого сигнала, а через а обозначено

Проинтегрировав, получим

Выведем теперь (201), используя (195). Необходимые для этого величины равны

Переходная матрица определяется формулой (1-6.351) в виде

где

Из определения (185) имеем

Учитывая (202) и (205) в (195), получаем

Это выражение тождественно (201). Чтобы найти второй член (138), введем в рассмотрение

и заменим на в (201). Тогда

Видим, что и выражение для вероятности ошибки является функцией двух величин: средней энергии, отнесенной к спектральной плотности шума, и произведения Ширина спектра на уровне равна представляет собой произведение времени на ширину спектра.

Чтобы использовать выражения для вероятностей ошибок (154) и (155), найдем используя (208). Простейший способ представления этих результатов — фиксировать и построить график зависимости от для различных значений Мы не будем производить этих вычислений на данном этапе. В при мере 1 гл. 4 эта задача рассматривается вновь с другой точки зрения. Тогда мы и построим подробное семейство кривых помехоустойчивости (см. рис. 4.7-4.9 и задачу 4.1.21).

Приведенный пример иллюстрирует применение выведенных формул для решения типичной представляющей интерес задачи. Другие интересующие нас случаи рассмотрены в задачах вне основного текста. Подведем теперь итоги настоящей главы.