7.1.3. Субоптимальные приемники

Интересующий нас приемник показан на рис. 7.7. По виду выражения (19) можно заключить, что логичной параметрической формой передаточной функции Не является

где С — некоторый постоянный коэффициент, который предстоит выбрать. Заметим, что при такой форме записи рассмотренные выше два предельных случая — большого и малого отношения сигнал/шум — получаются как частные случаи, если положить коэффициент С равным бесконечности и нулю соответственно.

Выберем значения параметров такими, чтобы оценка была несмещенной оценкой при любых значениях параметра А. Для этого требуется, чтобы

Единственным параметром здесь остается только С. Чтобы выбрать значение С в общем случае, определим вначале средний квадрат ошибки. Эта задача связана с несложными выкладками (см. задачу 7.1.7), в результате которых получим

Если средний квадрат ошибки описываемый выражением (99), представить графически как функцию параметра А, то можно

установить, что он имеет минимум при Этот результат следовало ожидать, но он не дает ответа, как выбрать значение коэффициента С, так как А — неизвестный параметр. Однако, часто пределы изменения параметра А бывают известными. Если известно, что

то коэффициент С из интервала можно выбрать в соответствии с некоторым критерием. Возможные критерии будут рассмотрены в контексте примера.

Заметим, что необходимо еще исследовать смещение оценки а, используя методы, изложенные выше. Для областей изменения параметра, представляющих наибольший интерес (т. е. соответствующих хорошей точности оценок), смещение пренебрежимо мало и можно считать, что почти во всех экспериментах.

В следующем примере исследуем точность оценки рассматриваемого субоптимального приемника при заданном конкретном спектре сообщения.

Пример 4. В предыдущих примерах задавался идеальный ограниченный по ширине спектр. Для такого спектра передаточная функция том виде, как она определяется выражением (96), — всегда является передаточной функцией идеального фильтра нижних частот. В данном примере будем полагать, что

Теперь функция Не будет изменяться в зависимости от параметра С. Нижняя граница дисперсии любой несмещенной оценки получается, если использовать формулу (25) с учетом соотношения (101). В результате получим (см. задачу 7.1.8)

где отношение сигнал/шум в полосе сообщения:

Возьмем субоптимальный приемник, показанный на рис. 7.7. Нормированную дисперсию оценки получим путем подстановки (101) в (99). В итоге находим

где

Когда формула (104) сводится к формуле (102). На рис. 7.8 дисперсия оценки, производимой при помощи субоптималыюго приемника, представлена графически для случая Значение дисперсии при является нижней границей дисперсий любой несмещенной оценки.

Рис. 7.8. Точностные характеристики субоптимальиого приемника [2].

По графику видно, что при указанных значениях параметров субоптимальный приемник можно использовать при изменении параметра в пределах декады допустив увеличение ошибки на 50% на концах этого интервала. Уместно сделать два замечания.

1. Необходимо определить смещение оценки а. Если им можно пренебречь, то средний квадрат ошибки можно вычислить по формуле (102). Если смещением пренебречь нельзя, то для определения смещения и среднего квадрата ошибки можно воспользоваться формулами (41) и (78) (см. задачу 7.1.10).

2. Если увеличение дисперсии вследствие использования субоптимального приемника слишком велико, то имеется несколько возможностей. Первая из них — вернуться к исходной структурной схеме приемника, изображенной на рис. 7.1. Вторая — использовать несколько субоптимальных приемников параллельно, перекрывая весь интервал изменения параметра. Третья — оценивать параметр А последовательно. При этом процесс записывают и производят его обработку, используя субоптимальный приемник, чтобы получить оценку, которую можно обозначить через Затем полагают в субоптимальном приемнике и повторяют процедуру обработки процесса чтобы получить оценку Повторение указанной процедуры приводит к требуемой оценке. Трудность, связанная с методом последовательной оценки, заключается в необходимости определения шага обработки, завершающегося правильной оценкой.