6.2.2. Уравнения максимального правдоподобия и уравнения максимальной апостериорной вероятности

Если максимум функции лежит внутри интервала и она имеет непрерывную первую производную, то уравнения максимального правдоподобия определяют необходимое условие существования

Уравнение максимального правдоподобия легко получить дифференцированием функции правдоподобия (27) и приравниванием результата нулю. Взяв частную производную от по А, имеем

Чтобы определить Первый член, продифференцируем (17) по А. В результате получим

Заметим, что для отыскания необходимо решить уравнение (17) относительно А и затем продифференцировать его. Для вычисления второго члена продифференцируем (21) и используем (20), чтобы получить

Аналогично из (25) и (26) имеем

Последнее слагаемое в (38) имеет две другие формы записи:

(см. задачу 6.2.1). Подставляя (36) — (39) в (35), получим

Если предположить, что производная в точке максимума функции существует и этот максимум по отношению к рассматриваемому интервалу является внутренним, то необходимое условие, которому должна удовлетворять оценка по максимуму правдоподобия, получается приравниванием нулю правой части уравнения (40). Для вывода уравнения максимальной апостериорной вероятности прибавим к и приравняем результат нулю.

Уравнение правдоподобия, получаемое из (40), обычно бывает трудно решить. Причина в том, что если рассматриваемый параметр входит в выражение ковариационной функции сигнала линейным образом, он может не входить линейно в выражение для обратного ядра. Поэтому указанное необходимое условие не так существенно в случае случайного сигнала, как при известном сигнале.