3.3. Помехоустойчивость оптимального приемника

Все наши рассуждения и результаты по анализу помехоустойчивости в § 2.2 справедливы для задач класса за исключением выражений в замкнутой форме для В этом параграфе выведем выражение для Точно так же, как при синтезе оптимального приемника, здесь имеется проблема, связанная с наличием небелого (коррелированного) процесса, который присутствует по обеим гипотезам. Как и прежде, одним из способов обойти это затруднение является предварительное выбеливание принятого сигнала по

гипотезе И Осуществить этот вывод вполне возможно, но он чрезмерно утомителен и требует большого методического мастерства. Из других подходов, доступных нам на данном этапе изложения книги, наиболее простым представляется метод дискретизации (выборочный метод). В § 3.5 мы вновь обратимся к вопросу помехоустойчивости. Вывод формулы для на новой стадии окажется гораздо проще и корректнее.

В задачах гл. 3 первого тома на с. 269—271 был рассмотрен вопрос о том, какие результаты для непрерывных колебаний можно легко вывести, используя метод дискретизации. В нашем случае принятые по двум гипотезам колебания описываются выражениями (5). Из процесса через каждые секунд формируется отсчет. В результате получаем -мерный вектор среднее значение и ковариационная матрица которого являются дискретизированными вариантами среднего значения и ковариационной функции процесса. Далее можно использовать выражение для выведенное в § 2.7 первого тома. Наконец, мы полагаем чтобы получить требуемый результат. Для простоты изложения подробный вывод сделаем для случая нулевого среднего.

Обозначим значение отсчета в момент времени через Ковариации между отсчетами равны

Множество отсчетов обозначается вектором Ковариационная матрица вектора равна

Матрицы в (45) являются ковариационными матрицами размерностью Элементы матриц по двум гипотезам соответственно равны

Заметим, что

Элементы матриц (46) и (47) можно записать в матричной форме:

Теперь можно использовать выражение для выведенное в гл. 2 первого тома. Из решения к задаче 2.7.3 первого тома имеем

Заметим, что символом обозначается определитель матрицы. Подставив (50) и (51) в (52), получим

Матрицы в (53) не могут быть вырожденными и поэтому все указанные в (53) операции справедливы. Вынося за фигурные скобки и переписав (53) как сумму логарифмов, имеем

Теперь каждое слагаемое является логарифмом определителя матрицы и может быть переписано в виде суммы логарифмов собственных значений матрицы на основании теоремы Кейли — Гамильтона. Например,

где собственное значение матрицы

При эта функция собственных значений матрицы будет стремиться к одноименной функции собственных значений ядра . Обозначим собственные значения ядра через Таким образом,

Сумма в правой части знакома нам из (2.73); она равна

Следовательно, первое слагаемое можно выразить через реализуемую среднеквадратическую ошибку для задачи фильтрации в присутствии аддитивного белого шума. Аналогичные рассуждения можно провести и в отношении второго слагаемого. Для

интерпретации третьего слагаемого введем в рассмотрение новый составной сигнальный процесс, определяемый как

Это фиктивный процесс, создаваемый путем генерации двух выборочных функций статистически независимых случайных процессов с ковариационными функциями и последующего формирования взвешенной суммы. Результирующий составной процесс имеет ковариационную функцию

Обозначим реализуемый средний квадрат ошибки фильтрации при наличии белого шума как Результирующее выражение для при этом имеет вид

Отсюда видно, что в случае общей бинарной задачи можно выразить через три различные реализуемые ошибки фильтрации.

Чтобы определить помехоустойчивость, можно использовать формулы (60) для границы Чернова (2.127) или приближенные формулы для вероятностей ошибок (2.164), (2.166), (2.173) и (2.174). Некоторые конкретные примеры будут рассмотрены в гл. 4. Теперь обратимся к четырем частным случаям.