12.3.2. Дуальные цели и каналы

Введем понятие о дуальной цели или канале и покажем, что нефлуктуирующая дисперсная цель дуальна по отношению к флуктуирующей точечной цели.

Чтобы обосновать это определение, вспомним соотношения для целей с допплеровским рассеянием и целей, протяженных по дальности. Сигнал, отраженный от цели с допплеровским рассеянием, на нулевой дальности можно представить как

Ковариационная функция этого сигнала равна

Сигнал, отраженный от цели, протяженной по дальности, можно записать в виде

Его ковариационная функция равна

Теперь можно определить дуальные цели и каналы.

Определение 4. Дуальные системы. Пусть через обозначен излучаемый (зондирующий) сигнал системы 1, а через

соответствующий отраженный (эхо) сигнал. Пусть через обозначен излучаемый сигнал системы 2, а через соответствующий отраженный сигнал.

Если условие, что есть сигнал, дуальный . приводит к тому, что является статистически дуальным сигналом сигнала то система 2 является дуальной системой системы 1. Заметим, что «системы» содержат в себе элемент случайности, тогда как «операции» в определении 3 были детерминированными.

Применим теперь это определение к интересующим нас целям. Свойство 6. Если

или, что эквивалентно,

то цель (канал) с допплеровским рассеянием является дуальной системой по отношению к протяженной по дальности цели (или каналу).

Доказательство. Требуется доказать, что

Но

С учетом (17) последнее можно свести к виду

Если

то

что и требовалось доказать.

Этот результат имеет фундаментальное значение, так как из него следует, что можно иметь дело лишь с моделью цели, легко поддающейся математической обработке. Формализуем это положение с помощью следующего определения.

Определение 5. Дуальные задачи обнаружения. Принимаемые колебания в системе А по двум гипотезам можно представить в виде

Рис. 12.5. Структурные схемы оптимальных приемников для дуальных задач обнаружения: а — оптимальный приемник для системы оптимальный приемник для системы В.

Принимаемые колебания в системе В по двум гипотезам можно записать в виде

Все эти колебания являются выборочными функциями комплексных гауссовых процессов.

Если — дуальный процесс по отношению к дуальный процесс по отношению к то задача В является дуальной по отношению к задаче А.

Нетрудно убедиться в следующих свойствах.

Свойство 7. Если априорные вероятности и стоимости в обеих системах одинаковы, то байесов риск в тождественных задачах обнаружения одинаков.

Свойство 8, Всегда можно реализовать оптимальный приемник для системы А, как показано на рис. 12.5, а. Всегда можно реализовать оптимальный приемник для системы В, как показано на рис. 12.5, б. Свойство 8 означает, что достаточно иметь возможность построить оптимальный приемник для любой из двух дуальных систем. Методы реализации преобразователя Фурье рассмотрены в многочисленных работах (например, [4 - 7]). С этой операцией

связано некоторое приближение, но мы не будем его учитывать в нашем рассмотрении. В п. 12.3.3 обсудим методы непосредственной реализации, основанные на использовании дуальных операци.

Свойство 9. Рассмотрим задачу обнаружения цели, протяженной по дальности. Принимаемые сигналы по двум гипотезам можно записать в виде

Рассмотрим теперь задачу обнаружения цели с допплеровским рассеянием. Принимаемые сигналы по двум гипотезам в этом случае можно представить в форме

В обоих случаях выборочная функция комплексного гауссова белого шума со спектральной плотностью

Если цель с допплеровским рассеянием является дуальной системой по отношению к цели с рассеянием по дальности, то вторая задача обнаружения является дуальной по отношению к первой задаче обнаружения.

Это свойство получается в результате применения свойств 2 и 6 к определению 5. Оно имеет большое значение, так как позволяет непосредственно использовать все результаты гл. 11 применительно к задаче обнаружения цели с рассеянием по дальности.

Определение 5 было сформулировано применительно к бинарной задаче обнаружения. Распространение его на многоальтернативные задачи обнаружения и оценки не вызывает принципиальных затруднений.

Теперь мы располагаем рядом общих результатов и можем перейти к рассмотрению некоторых конкретных случаев.