9.3. Обнаружение на фоне небелого полосового шума

В этом случае комплексные огибающие по соответствующим гипотезам представляются в виде

Аддитивный шум моделируется выборочной функцией небелого комплексного гауссова процесса с нулевым средним. Он содержит две статистически независимые компоненты:

Ковариационная функция шума равна

Заметим, что интервал наблюдения может не совпадать с интервалом, в пределах которого сигнал отличен от нуля. Любой из трех методов, которые использовались в § 4.3 (с. 329-344) первого тома, пригоден и в этом случае. Воспользуемся, к примеру, методом выбеливания. Пусть обозначает импульсную переходную функцию комплексного выбеливающего фильтра. Обозначим процесс на выходе фильтра, на вход которого воздействует процесс через Тогда

Комплексную импульсную переходную функцию выберем так, чтобы

Введем в рассмотрение функции определяемые соответственно как

Теперь для формирования достаточной статистики можно непосредственно использовать результаты § 9.2. Согласно (36). имеем

Как и ранее, введем в рассмотрение обратное ядро определяемое следующим образом:

С учетом (65) из (64) получим

Обозначив

имеем

В итоге оптимальный критерий можно записать в виде

Структурная схема корреляционного приемника, осуществляю щего операции в комплексной форме, показана на рис. 9.6. Схема полосового приемника с согласованным фильтром изображена на рис. 9.7.

Рис. 9.6. Структурная схема оптимального приемника для случая полосового сигнала на фоне небелого гауссова шума (операции выполняются в комплексной форме).

Рис. 9.7. Структурная схема оптимального приемника для случая полосового сигнала на фоне небелого гауссова шума.

Поступая так же, как в п. 4.3.1. первого тома, получим следующие соотношения:

где функция и удовлетворяет интегральному уравнению

Функция является импульсной характеристикой оптимального нереализуемого фильтра для оценивания процесса при наличии белого шума со спектральной плотностью . С учетом (70) согласно (67) имеем

Или

Это уравнение представляет собой комплексный вариант уравнения I-4.1696. В п. 4.3.6 первого тома были рассмотрены методы решения интегральных уравнений этого типа. Все эти методы применимы и к комплексному случаю. Особенно простое решение получается, когда процесс является стационарным и интервал наблюдения бесконечен. Тогда для решения уравнения (73) можно использовать преобразования Фурье, в результате получим

При конечных интервалах наблюдения можно использовать методы, описанные в п. 4.3.6 первого тома. Однако, когда небелый шум имеет конечномерное комплексное представление в переменных состояния (см. П.3.3), более эффективными для вычислений оказываются методы, изложенные в следующем параграфе.

Для определения достоверности обнаружения вычислим А по формуле (49). В результате получим

или

Заметим, что действительная (вещественная) величина. По своей функциональной форме она аналогична величине в случае известного сигнала (см. (I-4.198)). Достоверность определяется по формуле (50) и равна

Из (78) очевидно, что при увеличении А достоверность всегда повышается. Как и следовало ожидать, достоверность обнаружения (качество работы) локационной системы в случае небелого шума зависит от формы сигнала. Некоторые вопросы построения (синтеза) сигналов будут рассмотрены в § 9.5.