13.4.2. Оценка амплитуды

Рассмотрим задачу оценки амплитуды функции рассеяния, остальные параметры которой известны. Предположим, что

где функция и, X) нормирована так, что

Таким образом,

Ковариационная функция принимаемого сигнала имеет вид

Параметр неизвестное положительное число.

В данном случае функция правдоподобия (3126) имеет единственный максимум, который находится в точке

Поскольку величина может быть отрицательной, оценка максимального правдоподобия равна

Задача, связанная с усечением ряда, была подробно рассмотрена в п. 7.1.2. Для простоты предположим, что параметры имеют такие

значения, что влиянием усечения можно пренебречь. Подставляя (326), (328) и (315) в (329), получаем

Отсюда легко заключить, что оценка несмещенная. Приближенная реализация приемника представлена на рис. 13.33.

Рис. 13.33. Структурная схема алгоритма оценки по максимуму правдоподобия амплитуды функции рассеяния при соблюдении условия КСМЭ.

Если пренебречь смещением оценки то относительную дисперсию оценки можно ограничить величиной получаемой из (324) в виде

Следует заметить, что дисперсию оценки можно вычислить точно (см. задачу 13.4.4). Этот результат совпадает с за исключением члена, которым, если соблюдается условие КСМЭ, можно пренебречь.

Для иллюстрации изложенной процедуры оценки рассмотрим пример.

Пример. Предположим, что цель по обоим параметрам имеет гауссову функцию рассеяния, представленную на рис. 13.4. Тогда

Для упрощения алгебраических преобразований предположим, что огибающая сигнала имеет форму гауссова импульса:

Тогда из (10.28) имеем

Подставив (336) в (332), находим

Выполнив интегрирование, получим

Анализируя (338), нетрудно установить, что значение будет максимальным (и, следовательно, граница дисперсии (332) будет минимальной) при некотором промежуточном значении В частности, максимум имеет место при

Сравнивая (339) и (281), видим, что если положить

то это значение соответствует точке минимальной степени разнесения в выходном сигнальном процессе. (Заметим, что величины имеют различный смысл в указанных двух функциях рассеяния.)

Интуитивно следует ожидать, что точка минимальной степени разнесения будет оптимальной ввиду исходного предположения о

Том, что условие КСМЭ соблюдается. Это объясняется тем, что в общей задаче оценки амплитуды существует оптимальное отношение «энергии, приходящейся на каждое собственное значение, к спектральной плотности шума (см. задачу 13.4.8). Условие КСМЭ в (311) означает, что энергия сигнала уже распределена среди слишком большого числа собственных значений. Поэтому необходимо использовать наименьшее возможное число собственных значений. Когда условие КСМЭ не соблюдается, получается характеристика типа представленной на рис. 13.24. Если используется значение в соответствии с (339), то

Отсюда видно, что при граница дисперсии возрастает линейно с увеличением произведения Эта линейная зависимость от определяется только условием КСМЭ и в общем случае не выдерживается.

На этом завершается рассмотрение задачи оценки амплитуды. Решение в замкнутой форме для в условиях рассмотренной задачи можно получить благодаря тому, что функция имеет единственный максимум.