13.3.2. Приближенные модели целей и каналов с рассеянием по двум параметрам

В п. 13.3.1 были изложены два метода описания цели или канала с рассеянием по двум параметрам:

1. Описание с помощью функции рассеяния.

2. Описание дифференциальными уравнениями в частных производных.

Указанные методы приводят к моделям, которые легко поддаются наглядному представлению и принимаются за точные модели реальных физических явлений. К сожалению, за исключением нескольких частных случаев, получаемые в результате уравнения, определяющие оптимальный приемник и его помехоустойчивость, решить невозможно.

В этом пункте разработаны некоторые приближенные модели канала, которые позволяют вычислить функции, необходимые для определения оптимального приемника и оценки его помехоустойчивости. Рассматриваются три модели:

1. Модель в виде линии задержки с отводами.

2. Модель в форме общего ортогонального ряда.

3. Модель в форме приближенного дифференциального уравнения. к

Первая модель интуитивно представляется вполне удовлетворительной и относительно простой в реализации, поэтому начнем рассмотрение с нее. Вторая модель в форме общей системы ортогональных функций является логическим развитием модели в виде линии задержки с отводами и во многих ситуациях приводит к сокращению объема вычислений. Модель в форме приближенного дифференциального уравнения приводит к модели в форме общего ортогонального ряда по-другому.

Во всех трех случаях комплексная огибающая сигнальной компоненты

где для простоты время наблюдения полагается бесконечным. Сигнал представляется выборочной функцией гауссоаа случайного процесса с нулевым средним значением, ковариационная функция которого определяется выражением (143).

Метод, используемый при разработке приближенной модели, прямо ведет к конечной цели. Мы разлагаем функцию

либо в ряд по полной системе ортонормальных функций. Это позволяет заменить интеграл в (169) бесконечной суммой. Затем производится усечение бесконечного ряда для получения приближенной модели. Различные модели отличаются друг от друга выбором ортогональных функций.

Следует помнить, что и «точная» модель, с которой мы работали ранее, и приближенные модели, которые будут разработаны, в известной мере являются приближениями к некоторым физическим целям или каналам. В большинстве случаев приходится оценивать характеристики цели, и это вносит ошибки в используемую модель. В результате во многих случаях приближенные модели, рассматриваемые в следующем пункте, могут представлять физическую цель или канал столь же эффективно, как и точная модель, которую мы использовали ранее.

13.3.2.А. Модель в виде линии задержки с отводами. Предположим, что передаваемый сигнал имеет симметричный относительно несущей частоты и ограниченный по ширине спектр:

Поскольку ширина спектра функции ограничена, а интервал наблюдения бесконечен, то логичной процедурой является разложение функции в ряд с использованием теоремы отсчетов.

Таким образом,

где Отметим, что исходя из теоремы отсчетов можно было бы просто положить Введение придает модели дополнительную гибкость, которой мы воспользуемся позднее.

Заметим, что в (171) зависимость от X учитывается координатными функциями, а зависимость от коэффициентами ряда. Такое разделение переменных является ключом к методу разложения в ряд. Функции вида ортогональны, но не нормированы. Это удобно при интерпретации коэффициентов ряда (171) как отсчетов. Подставив (171) в (169), получим

Если определить

Относительно (174) полезно сделать два замечания.

1. Функции можно генерировать, пропуская функцию через линию задержки с отводами, интервалы между которыми соответствуют времени запаздывания

2. Функции определяются выражением (173), описывающим процесс весового интегрирования, который иллюстрируется графиками рис. 13.17. Нетрудно заметить, что если функция рассеяния имеет протяженность то функция будет практически равна нулю при отрицательных значениях и всех положительных значениях

Указанные два замечания приводят к модели цели (или канала), представленной на рис. 13.18.

Коэффициенты передачи (усиления) отводов выражаются выборочными функциями (комплексными гауссовыми процессами с нулевыми средними значениями). Для полного определения (задания) модели необходимо знать их взаимно-ковариационные функции

Внося операцию математического ожидания под знак интеграла, используя (37) и интегрируя по получаем

Это выражение справедливо при любой функции и, Я).

Проведенный анализ несколько упрощается, если коэффициенты передачи отводов статистически независимы. Если функция практически не зависит от Я на интервале единиц, то интеграл (176) приближенно равен нулю при Если является гладкой функцией от то это приближение

можно улучшить, увеличивая К сожалению, размер модели при увеличении возрастает. Влияние корреляции коэффициентов передачи отводов будет рассмотрено на с.535. Если же предположение о статистической независимости соблюдается, то

Рис. 13.17. Местоположение весовой функции вида при различных значениях

Так как процессы усиления в отводах стационарны, их также можно выразить через их спектры. В результате преобразования (177) получим

Эти спектры в сущности являются поперечными сечениями функции рассеяния при различных значениях

Теперь мы располагаем приближенной моделью цели (или канала).

Рис. 13.18. Модель цели (канала) с рассеянием по двум параметрам в виде линии задержки с отводами.

Рассмотрев (174), можно заключить, что мы заменили канал с рассеянием по двум параметрам системой из каналов с рассеянием по одному паратру, суммарный выходной сигнал которых равен

Но эту задачу мы можем решить для большого класса канальных процессов.

В соответствии с (149) оптимальный приемник должен содержать оценку колебания (179). Так как функция известна, то

Таким образом, основная задача реализации оптимального приемника заключается в формировании оценок коэффициентов передачи отводов и их взвешивании путем умножения на весовые коэффициенты Модель в виде линии задержки с отводами обладает тем преимуществом, что требуемые для нее функции можно генерировать довольно простыми методами. Рассмотрим теперь задачу синтеза оптимального приемника при использовании модели цели (канала) в виде линии задержки с отводами.

Если является рациональной функцией частоты то каждая из функций — коэффициентов передачи отводов — имеет конечное представление в переменных состояния. Когда это условие соблюдается, оптимальный приемник и его помехоустойчивость можно определить, используя методы, которые уже были изложены. Для иллюстрации этого сформулируем модель цели (канала) в переменных состояния.

Предположим, что функция рассеяния такова, что требуется линия задержки с отводами. Тогда

где интервал достаточно велик, так что практически энергия выходного сигнала содержится в интервале наблюдения. Вектор состояния для коэффициента передачи отвода обозначим через тогда

Размерность этого вектора состояния

Общий вектор состояния модели имеет размерность

и его можно записать как

Тогда

Принимаемый сигнал записывается в виде

где матрица определяется выражениями (188) и (189) как

Теперь задача сведена к уже решенной (см. (11.41)-(11.49)). Структурная схема приемника в комплексном представлении для задачи обнаружения, сформулированной соотношениями (145) и (146), показана на рис. 13.19.

Рис. 13.19. Структурная схема оптимального приемника для обнаружения цели с рассеянием по двум параметрам.

Она совпадает со структурной схемой, изображенной на рис. 11.9. Структурная схема оптимального реализуемого фильтра представлена на рис. 13.20. Единственным недостатком этой схемы является сложность формирования оценки Эта сложность связана с размерностью дисперсионного уравнения, являющегося в данном случае матричным уравнением размерностью Как обычно, дисперсионное уравнение может быть решено прежде, чем будет принята какая-либо информация.

Чтобы оценить помехоустойчивость, вычислим по формуле (152). Напомним, что - это реализуемая среднеквадратическая ошибка при оценке сигнала и получают ее из решения дисперсионного уравнения.

Следует подчеркнуть, что интересующая нас задача сформулирована в такой форме, когда оптимальный приемник и его помехоустойчивость можно определить прямыми численными методами. Отложим, однако, подробный разбор реального примера до тех пор, пока не закончим рассмотрение различных моделей канала.

13.3.2. Б. Модель в форме общего ортогонального ряда. Модель в виде линии задержки с отводами связана в значительной мере с интуитивным подходом и для многих физических ситуаций неадекватна. Однако во многих задачах встречаются другие ортогональные функции, которые обеспечивают более эффективное представление. В этом пункте мы рассмотрим общую модель.

В качестве исходной служит модель в форме дифференциального уравнения, которая была введена в Уравнение состояния имеет вид

где

Рис. 13.20. Структурная схема оптимального реализуемого фильтра с импульсной переходной функцией для модели в виде линии задержки с отводами.

Начальное состояние вектора состояния выражается в форме

Канальный процесс представляется как

Сигнальная компонента на выходе канала

В модели в виде линии задержки с отводами сигнал представлялся в форме ортогонального ряда. В данном случае в виде ряда мы представляем канальный процесс и его вектор состояния.

Предположим, что функции образуют полный ортонормальный ряд (систему), причем

где интервал протяженность цели (или канала). Заметим, что произвольная система ортонормальных функций только . Методы выбора системы рассмотрим позднее.

Сначала разложим вектор состояния в ряд:

где

Разложим в ряд и канальный процесс, используя ту же систему ортонормальных функций:

где определяются из условия

Будем называть -членной аппроксимацией канального процесса.

Выведем теперь представление функции в переменных состояния. Из (197) имеем

Подставив (197) и (201) в (191), получим

Умножив обе части (202) на и проинтегрировав по X на интервале получим

Обозначим теперь интегралы в (203) соответственно как

Усечение ряда дает -членную аппроксимацию канального вектора состояния. Уравнение состояния при этом имеет вид

Если исходный распределенный вектор состояния является Димерным, то вектор состояния в (206) имеет измерений. Уравнение (206) можно записать компактно в форме

Подстрочный индекс означает «модель». Выражения для элементов матрицы ковариационных функций для возбуждающей функции имеют вид

Начальные условия формулируются в виде

где определяется выражением (46).

Теперь необходимо найти матрицу наблюдений, связывающую Используя (197), (199) и (200), получаем

Умножая обе части (210) на и интегрируя на интервале имеем

Обозначив интеграл из (211) через

можно записать

Сигнальная компонента на выходе канала

а ее -членную аппроксимацию запишем в виде

где

Из (215) с учетом (213) имеем

Теперь мы располагаем -членной аппроксимацией модели, полностью характеризуемой представлением в переменных состояния. Коль скоро такое представление получено, все результаты п. 11.2.2 непосредственно применимы в данном случае. Отметим, что хотя формула (217) выглядит сложной, все необходимые величины можно вычислить простыми способами.

В отношении данной модели следует сделать два замечания:

1. Модель в виде линии задержки с отводами является частным случаем этой модели (см. задачу 13.3.9).

2. Надлежащий выбор системы ортогональных функций будет зависеть от функции рассеяния и сигнала. Искусный выбор системы упрощает структуру уравнения состояния и уменьшает значение К, необходимое для получения хорошего приближения. Именно возможным упрощением уравнения состояния мотивируется необходимость рассмотрения общей модели в форме ортогонального ряда. В следующем пункте мы проиллюстрируем выбор ортогональной системы функций для типичного примера.

До сих пор в данном параграфе мы рассматривали различные модели в форме ортогонального ряда для каналов с рассеянием по двум параметрам. При этом ставилась цель получить конечномерное приближение, которое поддается полному анализу. Рассмотрим теперь прямой анализ модели в форме дифференциального уравнения.

13.3.2.В. Приближенная модель в форме дифференциального уравнения. Модель в форме дифференциального уравнения для канала с рассеянием по двум параметрам описывается соотношениями (38) — (41), которые повторены здесь для удобства. Уравнение состояния имеет вид

где

Начальная ковариация вектора состояния

Канальный процесс выражается в виде

Сигнальная компонента на выходе канала

Оптимальный критерий можно записать через минимальную среднеквадратическую реализуемую оценку сигнала Из (149) имеем

Заметим, что сигнал является только функцией времени, поэтому Еесь вывод, приводящий к (149), применим здесь без каких-либо модификаций.

Для реализации указанного выше испытания необходимо располагать выражением для В результате получим уравнения, аналогичные встречавшимся ранее в п. 13.2.2 (см. (116)-(121)). В частности, уравнение оценки в нашем случае имеет вид

Уравнение коэффициента передачи запишется в форме

Дисперсионное уравнение имеет вид

при начальном условии

Соотношения (224 - (228) характеризуют алгоритм оценки канала. Используя эти уравнения и соотношения (222) и (223), получаем

структурную схему оптимального приемника, которая показана На рис. 13.19.

Перед нами все еще стоит задача реализации уравнений (224)- (228) с целью формирования оценки Структурная схема системы, содержащая пространственные операции, которые можно использовать для формирования оценки была представлена на рис. 13.15 (если заменить оценку оценкой В общем случае эту систему реализовать невозможно и необходимо прибегнуть к приближенному решению. Ввиду этого рассмотрим три процедуры получения приближенного решения.

Первая процедура состоит в разложении вектора состояния по ортонормальным функциям и усечении разложения К членами. Эта процедура возвращает нас к модели, описанной на с. 529—533. Вторая процедура заключается во взятии отсчетов по параметру Получаемая в результате модель была бы аналогична модели в виде линии задержки с отводами, рассмотренной в п. 13.3.2. А, но коэффициенты передачи отводов будут коррелированными. С точки зрения вычислений эта процедура, как правило, неэффективна.

Изложим теперь третью процедуру, которая, по-видимому, дает некоторые преимущества с точки зрения вычислений. Первый шаг — разделить ковариационную матрицу на импульсный член и ограниченный член в виде

Подставляя (229) в (227), видим, что функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

с нулевым начальным условием

Затем разложим в ряд

где произвольная система ортонормальных функций;

Эта процедура называется методом модального разложения.

Произведем усечение ряда на члене с индексом чтобы получить приближенное решение. Поступая, как и прежде, можно вывести систему дифференциальных уравнений, определяющих матрицу (см. задачу 13.3.12). Преимущество выделения импульсного члена в (229) заключается в том, что сходимость этого приближенного ядра обычно бывает лучше. Мы применим эту третью процедуру к рассмотрению конкретной задачи в п. 13.3.3.

Последний шаг — оценить помехоустойчивость. Сделаем это путем вычисления и подстановки полученного значения в приближенные формулы для ошибки. Величину можно выразить через реализуемую ошибку оценки сигнала по минимуму среднеквадратической ошибки по формуле (11.54). Наконец, выразим через .

По определению

С учетом (221) и (222) из (234) получим

Заметим, что для отыскания необходимо решить дисперсионное уравнение (227) при двух значениях уровня аддитивного шума: В общем случае для отыскания необходимо решить дисперсионное уравнение при трех значениях уровня аддитивного шума.

13.3.2.Г. Итоги рассмотрения приближенных моделей. В этом пункте были рассмотрены различные модели, которые можно использовать для приближенного представления цели (или канала) с рассеянием по двум параметрам. Преимущество всех этих моделей состоит в том, что они позволяют получить полное решение для оптимального приемника и оценить его помехоустойчивость.

Модель в виде линии задержки с отводами является самой простой в реализации и единственной моделью, которая используется при разработке и анализе реальных систем. Остальные две модели на данном этапе их развития наиболее полезны при исследовании пределов помехоустойчивости.

Кроме рассмотренных, имеется много других приближенных моделей каналов, с которыми можно ознакомиться в ряде работ (например, [35, 61 и 64]),