4.3. Случай когерентного обнаружения слабых сигналов

В этом параграфе рассмотрим простую бинарную задачу, описанную в гл. Принимаемые по двум гипотезам колебания записывают в виде

Предполагается, что белый гауссов процесс с нулевым средним и спектральной плотностью и что гауссов случайный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией Ковариационную функцию сигнала можно записать в виде ряда

Если зависать в виде разложения Карунена — Лоэва, то собственное значение Я будет среднеквадратическим значением коэффициента. Физически это собственное значение соответствует средней энергии по каждой собственной функции. Если бы вся энергия сигнала содержалась в единственном собственном значении, то можно было бы записать, что

и задача свелась бы к задаче обнаружения известного сигнала с гауссовой случайной амплитудой, которая решена в § 4.4 первого тома. Эту задачу иногда называют задачей когерентного обнаружения, так как вся энергия относится к единственному известному сигналу.

Во многих физических ситуациях условия этой задачи совершенно другие. В частности, если записать

то нетрудно установить, что энергия сигнала распределена по большому числу координат и что все собственные значения малы по сравнению с уровнем белого шума, т. е.

Эту ситуацию можно характеризовать как случай когерентного обнаружения при малой энергии сигнала. В этом параграфе мы изучим, какие следствия вытекают из условия (121) применительно к структуре оптимального приемника и его помехоустойчивости. Прежде чем приступить к обсуждению этого вопроса, целесообразно сделать ряд замечаний.

1. Если стационарный процесс, то, как известно из п. 3.4.6 первого тома (с. 245, 246) , справедливо неравенство

Следовательно, если

то условие когерентного обнаружения сигнала малой энергии существует.

2. Может показаться, что условие когерентного обнаружения при малой мощности сигнала предполагает низкую вероятность обнаружения и, следовательно, этот случай не представляет интереса. Однако на самом деле это не так, поскольку выходное напряжение приемника получается в результате комбинирования большого числа компонентов сигнала. Несмотря на то, что каждое собственное значение сигнала мало, результирующая статистика испытания может иметь по обеим гипотезам заметно различающиеся плотности вероятностей.

3. Позднее мы убедимся, что условие когерентного обнаружения при малой энергии сигнала приводит к более простым структурным схемам приемника и процедурам расчета его помехоустойчивости. Позднее мы исследуем эффект использования подобных упрощенных приемников, когда условие когерентного обнаружения при малой энергии сигнала не соблюдается.

Начнем рассмотрение с общих результатов, полученных в §2.1. В соответствии с (2.31).

а из (2.19) имеем

Чтобы получить приближенную формулу, обозначим наибольшее собственное значение через Если

то каждый член суммы в (125) можно разложить в степенной ряд по

Сходимость каждого разложения в ряд гарантируется условием (126). Условие когерентного обнаружения при малой энергии сигнала (121) является более жестким, чем (126).

Если выполняется условие когерентности обнаружения сигнала малой энергии

то к члену логарифма отношения правдоподобия можно приблизиться, удержав первые два члена ряда. Основанием для удержания только двух членов является то, что они имеют порядок (Читателю следует в этом убедиться.) Первый член равен

Второй член равен

Если ввести в рассмотрение ядро определяемое как

то

Аналогично, если можно разложить в ряд член 1в, определяющий смещение в логарифме отношения правдоподобия. В соответствии с (2.33) имеем

Если то приближенное выражение можно получить, взяв первые два слагаемые:

Формулы (129), (132) и (134) соответствуют двум параллельным операциям над принимаемыми сигналами и члену смещения.

Можно показать, что при

отношение дисперсии суммы гипотезе к дисперсии по гипотезе стремится к нулю. Аналогичное утверждение справедливо и по гипотезе так как

В этом случае величину можно заменить ее средним значением по гипотезе Н (средние значения по обеим гипотезам приближенно равны):

Теперь становится членом смещения и единственная величина, которая зависит от Окончательно критерий испытания можно записать в виде

Включив смещение в величину порога, критерий испытания можно записать в виде

Приемник, осуществляющий испытание (140), называется оптимальным приемником для когерентного обнаружения сигналов малой энергии. Отметим, что он имеет точно такую же форму, как приемник общего вида, описываемый уравнением (124). Различие заключается в том, что ядром квадратичной формы является ковариационная функция сигнала вместо импульсной характеристики оптимального линейного фильтра. Заметим, что эта характеристика оптимального линейного фильтра сводится к при условии когерентности обнаружения сигнала малой энергии. Одна из форм приемника показана на рис. 4.21. Различные другие реализации, рассмотренные в § 2.1 (рис. 2.4-2.7), можно также модифицировать для случая когерентности сигналов малой энергии.

Когда но не удовлетворяет условию (128), можно использовать большее число членов в разложениях в ряд для и . Если

то для оптимального обнаружителя в принципе можно найти решение в виде ряда, который будет сходиться.

Выражения для и в общей форме можно легко получить;

Рис. 4.21. Структурная схема оптимального приемника для когерентного обнаружения слабых сигналов.

Интересная физическая интерпретация приближений высокого порядка дана в задаче 4.3.2.

Последним интересующим нас вопросом является помехоустойчивость оптимального приемника в случае когерентного обнаружения сигнала малой энергии. Необходимо найти более простое выражение для учитывая мощность собственных значений.

В соответствии с (2.134) имеем

Разлагая логарифмы в ряды и учитывая первые два члена, получим

Видим, что члены, линейные по переменной взаимно уничтожаются. Записав сумму в замкнутой форме, получим

Выражение, заключенное в фигурные скобки, имеет интересную интерпретацию. Как было показано в гл. 4 первого тома, в задаче с известным сигналом качество обнаружения (помехоустойчивость приемника) полностью определяется величиной

Физически ее можно интерпретировать как отношение сигнал/шум на выходе приемника. В задаче с гауссовым сигналом, рассмотренной в данной главе, величина уже не является однозначно связанной с так как в этом случае не является гауссовой величиной. Однако при когерентном необнаруживаемом сигнале оказывается, что выражение в фигурных скобках в (148) равно так что если допущенные нами приближения справедливы, то отношение сигнал/шум на выходе приемника приводит к приближенным формулам для Остается только убедиться, что выражение, заключенное в фигурные скобки в (148), равной Это легко сделать, если учесть тот факт, что математическое ожидание четырех совместно нормальных случайных величин можно записать в виде сумм вторых моментов (см., например, [8] или с. 267 первого тома).

Таким образом, в случае когерентного обнаружения сигналов малой энергии

Подставив значение из (150) в формулы (2.164) и (2.173), получим выражения для вероятностей ложной тревоги и пропуска цели в виде

Рабочая характеристика приемника, построенная по формулам (151) и (152), представлена на рис. 4.13 первого тома.

Условие когерентности обнаружения сигналов малой энергии часто встречается в задачах радиолокационной астрономии и гидроакустики. Первые широко исследованы в трудах Прайса (например, [6]) и более подробно будут рассмотрены в гл. 11. В области

гидроакустики часто бывает справедливым предположение о стационарности процессов при большом времени наблюдения (помимо условия когерентности обнаружения сигнала малой энергии).

Структуру приемника и его помехоустойчивость определим комбинированием результатов данного параграфа и § 4.1. Реализация приемника в форме фильтра-квадратора иллюстрируется структурной схемой рис. 4.22. Значение равно

и возрастает линейно при увеличении времени наблюдения Следовательно, независимо от относительных уровней сигнала и шума требуемого качества обнаружения можно достичь наблюдением процесса в течение достаточно длительного времени.

Рис. 4.22. Структурная схема оптимального приемника: случай когерентного обнаружения слабых сигналов при условии стационарности процессов и большого времени наблюдения (СПБВН).

Область гидроакустики будет более подробно рассмотрена в отдельном выпуске «Пространственно-временная обработка сигналов».

Иногда приемник для когерентного обнаружения сигналов малой энергии, структурная схема которого представлена на рис. 4.21, используют даже тогда, когда условие когерентности (128) не соблюдается. Для анализа его помехоустойчивости такой приемник необходимо рассматривать как субоптимальный. Методы исследования помехоустойчивости субоптимальных приемников рассмотрены в гл. 5.