13.3. Обнаружение целей с рассеянием по двум параметрам и передача информации по каналам с рассеянием по двум параметрам

В этом параграфе мы рассмотрим две тесно связанные задачи. Первая из них возникает в радио- и гидролокации и заключается в необходимости обнаружения эхо-сигнала от цели с рассеянием по двум параметрам при наличии аддитивного шума. Другая задача относится к передаче цифровой информации по каналу с рассеянием по двум параметрам.

Параграф подразделяется на четыре части. В п. 13.3.1 сформулированы количественные модели для двух указанных задач и выведены выражения для оптимальных приемников и их помехоустойчивости. Эти выражения содержат интегральные или дифференциальные уравнения, которые в большинстве случаев не имеют точных решений. В п. 13.3.2 разработаны приближенные модели целей и каналов, позволяющие получить полное решение для оптимальных приемников и оценить их помехоустойчивость. В п. 13.3.3 определена помехоустойчивость конкретного двоичного метода передачи для иллюстрации рассматриваемых методов решения. В п. 13.3.4 рассмотрены некоторые родственные вопросы.

13.3.1. Постановка задачи

В этом параграфе мы сформулируем задачу обнаружения и задачу передачи двоичной информации количественно.

13.3.1.А. Обнаружение. Первая интересующая нас задача — радио- или гидролокационное обнаружение цели. При этом излу чается сигнал, комплексная огибающая которого равна Если имеется цель с рассеянием по двум параметрам, то комплексная огибающая эхо-сигнала имеет вид

где выборочная функция комплексного гауссова процесса, ковариационная функция которого определяется выражением (37).

Используемый процесс определяется соотношением (36), но подстрочный индекс х опущен. Ковариационная функция эхо-сигнала определяется выражением (22):

Помимо сигнальной компоненты, принимаемое колебание содержит аддитивный комплексный белый шум ковариационная функция которого

Если цель отсутствует, то принимаемое колебание представляется лишь шумовым членом Таким образом, имеем двоичную задачу испытания гипотез, в которой комплексные огибающие принимаемых по двум гипотезам колебаний равны:

По обеим гипотезам колебание является выборочной функций комплексного гауссова случайного процесса. Если (145) и (146) сравнить с соотношениями, определяющими задачу обнаружения в гл. 11 (см. (11.30) и (11.31)), то нетрудно заметить, что их форма одинакова. Единственное различие сравниваемых задач заключается в форме ковариационной функции сигнальных процессов. Поэтому все соотношения гл. 11, содержащие как произвольную ковариационную функцию, справедливы и для настоящей задачи. В частности, соотношения (11.33) — (11.40) и рис. 11.7-11.9 справедливы для структур алгоритмов приемников, а (11.50) - (11.54) - для оценки помехоустойчивости. Именно при практических вычислениях по различным указанным формулам становится важной модель с рассеянием по двум параметрам. В частности, как выяснится далее, с ковариационной функцией, определенной в виде (143), труднее работать, чем с ковариационными функциями, встречающимися в случаях моделей с рассеянием по одному параметру.

Для удобства использования и ссылок некоторые относящиеся к рассматриваемой задаче результаты гл. 11 приводятся ниже. Испытание по критерию отношения правдоподобия записывается в виде

где удовлетворяет интегральному уравнению

определяется выражением (143). Структурная схема реализации приемника в виде оценивателя-коррелятора представлена на рис. 11.7.

Другое выражение для испытания по критерию отношения правдоподобия имеет вид

где реализуемая оценка сигнала по минимуму среднеквадратической ошибки, когда истинна гипотеза Преимущество реализации по алгоритму (149) заключается в том, что во всех случаях, когда имеет распределенное представление в переменных состояния, мы располагаем системой уравнений (116) — (121), которая определяет оценку

Приближенные выражения для оценки помехоустойчивости, которые были выведены ранее, требуют знания величины которую можно записать в трех различных формах:

Чтобы определить помехоустойчивость, вычислим одно из этих выражений. Прежде чем приступить к рассмотрению методов вычисления, сформулируем модель канала связи.

13.3.1.Б. Двоичная система связи. Рассмотрим двоичную систему связи, в которой используются ортогональные сигналы. Передается один из двух ортогональных сигналов:

где имеет единичную энергию. Заметим, что оба передаваемых сигнала имеют одинаковые комплексные огибающие, но различные несущие частоты. Необходимо кратко остановиться на вопросе их выбора. Обе гипотезы предполагаются равновероятными.

Принимаемые колебания представляются в виде

где

Процессы отражения представляют собой выборочные функции комплексных гауссовых процессов с нулевыми средними значениями, которые можно охарактеризовать такой же функцией рассеяния

При передаче сигналов по рассматриваемым каналам имеют место следующие два эффекта. Первый заключается в дисперсии запаздывания. Если функция рассеяния имеет временную протяженность то сигнальная компонента будет содержаться в принимаемом колебании на интервале длительностью Второй эффект заключается в расширении частотного спектра. Если спектр функции приближенно ограничен полосой частот шириной [Гц], а спектр функции рассеяния — полосой частот В [Гц], то сигнальная компонента принимаемого колебания будет приближенно ограничена полосой частот шириной В [Гц].

Предполагается, что разность достаточно велика, так что сигнальные компоненты на входе приемника находятся в неперекрывающихся полосах частот. Нетрудно установить, что разнесение этих частот должно учитывать как ширину спектра передаваемого сигнала так и ширину спектра функции рассеяния В. Таким образом,

Интервал наблюдения ограничен пределами и включает весь интервал, на котором имеется сигнал на выходе канала. Из этого следует, что

Приемник должен решить, какой именно из двух ортогональных полосовых гауссовых процессов присутствует на фоне аддитивного белого гауссова шума. Критерием оптимальности служит минимальная суммарная вероятность ошибок. Но эта задача уже рассматривалась (см. § 11.3) и было показано, что оптимальный приемник состоит из двух параллельных ветвей, содержащих фильтры с

центральными частотами полос пропускания . В первой ветви вычисляется

где комплексное представление дается относительно частоты . В другой ветви вычисляется

где комплексное представление дается относительно частоты Комплексная импульсная переходная функция определяется уравнением

где

Оптимальный критерий можно выразить в виде

как показано на рис. 11.12. Нетрудно заметить, что (162а) тождественно (148). Достаточные статистики можно также записать в форме, тождественной (149). Таким образом, уравнения, определяющие оптимальный приемник, для задачи радиолокационного обнаружения и для задачи передачи двоичной информации одинаковы. Отметим, что реальные функции рассеяния для этих двух задач будут различны ввиду различия соответствующих физических условий.

Определение помехоустойчивости в задаче связи значительно проще ввиду того, что гипотезы симметричны, а порог равен нулю. Точно так же, как в случае рассеяния по допплеровскому параметру, рассмотренном в § 11.3, в данном случае существуют точные границы суммарной вероятности ошибок. Из (11.75) имеем неравенство

где можно выразить в виде

Подстрочный индекс означает бинарный симметричный, а подстрочный индекс простой бинарный. Формулы для были приведены (см. (150) — (152)). Подставив (151) в (165) и упростив, получим

Показатель экспоненциальной функции в (164) равен

Величину можно также выразить через реализуемую минимальную среднеквадратическую ошибку фильтрации:

Основная форма этих выражений известна из гл. 11. Теперь необходимо изложить процедуру отыскания требуемых функций.

13.3.1.В. Краткие итоги. В этом параграфе была разработана модель для задачи радиолокационного обнаружения и для задачи двоичной передачи информации. Уравнения, определяющие оптимальные приемники и их помехоустойчивость, были известны из ранее изложенного материала. Новым вопросом, с которым мы встретились в данном параграфе, был вопрос фактического решения этих уравнений, когда ковариационная функция задана в виде (143).

Существуют два случая, когда эти уравнения можно решить достаточно просто. Здесь мы лишь укажем их, а более подробно рассмотрим позднее в этом параграфе. Первый случай соответствует условию когерентности сигналов малой энергии (КСМЭ), которое первоначально было рассмотрено в гл. 4. Этот случай исследуется в п. 13.3.4. Второй случай является вырожденным и соответствует ситуации, когда передаваемый сигнал выбран так, что цель или канал имеет рассеяние лишь по одному параметру. Этот вырожденный случай был рассмотрен на с. 486 (см. свойство 4, (22) — (29)), и мы снова обратимся к его изучению в п. 13.3.3. Хотя эти два случая

охватывают многие задачи из числа встречающихся на практике, желательно иметь возможность решить любую задачу, связанную с целью (или каналом) с рассеянием по двум параметрам. В следующих двух пунктах изложены методы решения этой общей задачи.