12.1. Модель и интуитивное рассмотрение задачи

Начнем разработку модели, определяемую выражением (3).

Метод приращений удобен для объяснения механизма отражения, но на самом деле отражения происходят от непрерывной области X и при сумма в выражении (3) становится интегралом:

где выборочная функция комплексного гауссова процесса с нулевым средним, независимая переменная которого является пространственной величиной . Заметим, что функция не зависит от времени. Нетрудно заключить, что цель с рассеянием по дальности ведет себя точно так же, как линейный инвариантный во времени фильтр со случайной комплексной импульсной функцией Для полного задания необходимо знать две комплексные ковариационные функции:

где соотношение (6) выражает налагаемое нами ограничение.

Будем предполагать, что эхо-сигналы с различных дальностей статистически независимы. Для обоснования этого предположения вернемся к модели с приращениями, представленной на рис. 12.1. Значение будет определяться относительными фазами и амплитудами элементарных отражений на интервале. Если предположить, что отражающая поверхность имеет грубые неровности (по сравнению с длиной волны несущего колебания), то значения на различных интервалах будут независимыми. В случае непрерывной модели из этого следует, что

Заметим, что соотношение (7) является идеализацией, аналогичной белому шуму во временной области. Поскольку отраженный сигнал определяется интегралом свертки (4), то соотношение (7) дает хорошее приближение в тех случаях, когда интервал корреляции процесса гораздо меньше, чем величина, обратная ширине спектра сигнала

Физически математическое ожидание в выражении (7) связано с ожидаемым значением энергии, отраженной (или рассеянной) от элемента цели, находящегося на расстоянии Введем в рассмотрение функцию

и назовем ее функцией рассеяния по дальности. Для удобства всегда будем определять функцию для бесконечной дальности. Конечная протяженность цели будет учитываться в этом функциональном определении.

Ковариационная функция принимаемого сигнала при отсутствии аддитивного шума равна

Учитырая (7) и (8) в (9), получаем

Выражение (10) полностью определяет эхо-сигнал от протяженной по дальности цели.

Заметим, что полная энергий принятого Сигнала равна

Отсюда видно, что

Соотношение (12) представляет собой количественную формулировку идеи, выражаемой соотношением (8). Чтобы не нарушить соответствия с моделью точечной цели, предположим, что

На этом завершается разработка математической модели процесса отражения. Прежде чем приступить к синтезу и анализу оптимального приемника, целесообразно провести обсуждение на интуитивной основе. В гл. 11 было показано, что цель с допплеровским рассеянием вызывает время-селективные замирания. Теперь уместно показать, что цель, протяженная по дальности, вызывает частотноселективные замирания.

Преобразование Фурье сигнала является вполне определенным, если пространственная протяженность цели конечна. Таким образом,

Заметим, что есть выборочная функция комплексного гауссова процесса.

Вычислим взаимно-корреляционную функцию спектра на двух различных частотах:

Перенося операцию математического ожидания под интеграл, с учетом соотношении (7) и (8) получаем

где преобразование Фурье сигнала Чтобы выяснить смысл соотношения (16), введем в рассмотрение функцию, определяемую как

С учетом (17) из (16) получим

или

Функция называется двухчастотной корреляционной функцией. Она характеризует степень корреляции между замираниями на разных частотах. Отметим, что она является преобразованием Фурье функции рассеяния по дальности. Таким образом,

и для того чтобы охарактеризовать цель, можно использовать либо либо .

Для иллюстрации применения формулы (18) рассмотрим функцию рассеяния, представленную на рис. 12.2, а:

На рис. 12.2, б показана двухчастотная корреляционная функция для такой функции рассеяния:

Видим, что частотные составляющие, отстоящие друг от друга более чем на практически некоррелированы (и статистически независимы, так как они совместно гауссовы).

Теперь предположим, что передается сигнал, преобразование Фурье огибающей которого равно

На рис. 12.3, а показан случай, когда

Рис. 12.2. Функции, характеризующие цель с равномерным рассеянием по дальности: а — функция рассеяния; б - двухчастотная корреляционная функция.

Рис. 12.3. Функции, иллюстрирующие частотно-селективные замирания: а — преобразование Фурье огибающей переданного сигнала; б - преобразование Фурье огибающей типичного принятого сигнала.

На рис. 12.3, б представлено преобразование Фурье типичной выборочной функции сигнала Амплитуды составляющих на частотах, отстоящих более чем на [Гц], по существу статистически независимы, и поэтому такое поведение спектра называют частотноселективными замираниями.

Функция, изображенная на рис. 12.3, б, похожа на функцию, представленную на рис. 11.2, б, но вместо оси времени здесь взята ось частот. Это сходство (или дуальность) будет использоваться в § 12.3.

Заметим, что если ширина спектра сигнала такова, что

то эхо-сигнал будет неискаженным. Это условие, очевидно, соответствует модели медленно флуктуирующей точечной цели,

рассмотренной в гл. 9 и 10. Условие (25) указывает, когда цель можко моделировать как точечную.

Теперь мы располагаем количественной моделью целей, протяженных по дальности, и имеем интуитивное представление о их влиянии на излученный сигнал. Далее будет рассмотрена задача синтеза оптимального приемника.