3.5.3. Невырожденные и вырожденные критерии

Цель данного рассмотрения — определить необходимые и достаточные условия для того, чтобы критерий был невырожденным. Вывод строится на основе последовательности лемм. Как и прежде, считается, что критерий является вырожденным, если Заметим, что предположения о равновероятности гипотез не делается, вследствие чего

Будем придерживаться следующего порядка изложения.

1. Покажем, что если и только если конечно.

2. Затем установим необходимое и достаточное условие того, чтобы было конечным. Наконец, рассмотрим два простых примера вырожденных испытаний.

Лемма 1. Для вероятности ошибок можно установить следующие границы:

Поэтому функция будет равна нулю, если или или равны нулю. Если предположить, что положительны, то будет больше нуля, если и только если конечно. Другими словами, вырожденное испытание будет иметь место, если и только если расходится.

Верхняя граница нам знакома. Доказательство нижней границы носит прямой характер.

Доказательство. Пусть

Теперь отметим, что на основании неравенства Буняковского — Шварца для любого множества справедлива запись

Вспомним (см. c. 43 первого тома), что вероятность ошибок при использовании оптимального критерия равна

Используя (1426) применительно к каждому интегралу в (143а), получим

где

а значение x заключено в интервале

Выражение в фигурных скобках в (1436) можно минимизировать, положив

и минимальное значение его равно

Итак,

что и требовалось доказать. Следует подчеркнуть, что нижняя граница в (141) используется нами лишь для рассмотрения вопроса о вырожденных испытаниях и поэтому она необязательно должна быть плотной границей.

Лемма 2. На основании (138) имеем

Чтобы было конечным, все X должны быть положительными. Если это справедливо, то, чтобы было конечным, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство (из [9]). Можно показать свойства сходимости следующих сумм:

если и только если

если и только если

В справедливости этих равносильных неравенств легко убедиться.

Лемма 3. Введем в рассмотрение число определяемое соотношением

и ядро определяемое выражением

Числа К являются собственными значениями ядра Заметим, что необязательно должно быть положительно определенным (т. е. некоторые из X могут быть отрицательными).

Лемма 4. Значение будет конечным, если и только если

1) все

2) сумма является конечной.

Если предположить, что первое условие выполняется, то для

необходимо и достаточно, чтобы

Выражение (151) можно также записать в виде

Это уравнение должно иметь интегрируемое в квадрате решение.

В итоге необходимое и достаточное условие для невырожденного испытания заключается в том, чтобы функция определяемая выражением (151) или (154), была интегрируемой в квадрате и не имела —1 в качестве собственного значения.

В связи с изложенным полезно сделать ряд замечаний.

1. Результат, выражаемый соотношениями (150) — (154), имеет простую физическую интерпретацию. Ковариационная функция выбеленного процесса по гипотезе должна состоять из импульса с единичной площадью (дельта-функции) и положительно-определенной, интегрируемой в квадрате компоненты.

2. Рассмотренная задача является симметричной, так что все наши рассуждения сохраняют силу, если подстрочные индексы 0 и 1 взаимно поменять местами. Следовательно, условия, определяемые (151) и (153), можно проверить для случая, который является простейшим. Отметим, что нет необходимости в проверке обоих случаев.

3. Функцию можно записать через собственные значения ядра На основании (138) и с учетом (150) имеем

где К — собственные значения ядра которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Заметим, что для того, чтобы функция была конечной, достаточно, но не необходимо, чтобы логарифмы числителя и знаменателя в (155) сходились независимо друг от друга (см. задачу 3.5.11)

Рассмотрим теперь два простых примера вырожденных испытаний.

Пример 1. Пусть

Тогда

а эта функция не является интегрируемой в квадрате, если

Следовательно, когда ковариационные функции по двум гипотезам тождественны, не считая амплитудного множителя, критерий является вырожденным.

Пример 2. Пусть

Для этого конкретного примера простейшая процедура заключается в построении выбеливающего фильтра. На основании имеем

или

Ковариационная функция процесса по гипотезе равна

Здесь только первое слагаемое содержит дельта-функцию:

Чтобы критерий был невырожденным, должно выполняться условие

В противном случае условие (153) невозможно выполнить.

В примере 2 предполагается простое испытание на вырожденность, которое можно применить, когда случайные процессы по двум гипотезам являются стационарными и имеют рациональные спектры. В этом случае необходимым и достаточным условием невырожденного критерия является

(см. задачу 3.5.12).

Ряд других примеров вырожденных критериев рассмотрен в задачах вне основного текста. Для строгого и более подробного рассмотрения интересующийся читатель может обратиться к работам [9—12, 15]. Как было отмечено при рассмотрении задач класса путем включения одной и той же компоненты белого шума по обеим гипотезам можно гарантировать, что критерий будет невырожденным. Поскольку включение компоненты белого шума обычно обосновано, исходя из физических соображений, таким способом можно избежать проблемы вырожденного критерия.